Onko reaalifunktion käyrä- ja pintaintegraaleilla jonkinlaista geometristä merkitystä kuten yhden muuttujan reaaliarvoisella funktiolla, jolle integraali antaa pinta-alan? Entä, jos kyseessä on vektoriarvoinen funktio eli vektorikenttä?
Käyrä- ja pintaintegraalit
---
41011
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 4
Vanhimmat
Eikös käyräintegraali ole vähän niin kuin sen seinän ala minkä korkeus on se integroitava funktio ja mikä kulkee sitä käyrää pitkin. Pintaintegraali taas on sen kappaleen ala minkä yläreuna on integroitava funktio ja pohjana on se integroinnin alue.
on "keskiarvo-operaattori" tai "summaoperaattori". Lasketaan summa yli funktio*joukon mitta-alkioiden, eli -käyräintegraali on tavallisen integraalin yleistys kierolle käyrälle. Käyrä taas on tietyt määritelmät täyttävä kuvaus 1-ulotteisesta avaruudesta Rn:ään. Käyrän dimensio on siis lokaalisti 1, mutta siinä on kierevyyttä upotusavaruuden mahdollisuuksien mukaan, eli esimerkiksi ympyrä on puoliojanan kuva tasossa tai ylipäätään Rn.ssä n>1. Summataan siis käyrällä määritellyn funktion arvot mitta-alkioilla painotettuna käyrällä palauttaen tavalliseen integraaliin kuvauksen g:puolijana ---> Rn avulla. eli yhdistetyn kuvauksen fog:n avulla. - sitten voidaan integroida myös käyrän pituuden suhteen, jolloin identtisen funktion integraali antaa käyrän pituuden. Integroidaan tyyppiä y=g(x) olevan kuvauksen kohdalla f(x,g(x))*sqrt((1 g'(x))*dx eli identtisen kuvauksen kohdalla pelkkä neliöjuurilauseke. -Pintaintegraalissa mittana on pinta-ala alkio dA = dxVdy tai |tuo|. Integraali määritellään itsenäisesti (samoinkuin käyräintegraali), mutta palautetaan tavalliseksi tuplaintegraaliksi. Erikseen ovat sitten erilaiset mittateoriat (mm Lebesguen), jotka ovat kuitenkin osapuilleen konsistentteja tavallisen integroinnin (Riemann-integraali) kohdalla. Ne kuitenkin selkeyttävät pelikenttä ja laajentavat integroituvien funktioiden luokkaa olellisesti. ne perustuvat kuitenkin valinta-aksioman käyttöön. Kuten kaikki järkevä matematiikka. Lisäksi on vielä mm. Stieltjes inegraali, jossa käytetään lisänä painofunktiota tyyliin Sfdp, p on painofunktio. Se on käytännöllinen klassisessa todennäköisyysteoriassa.
Turhaa hienostelua. Samoin se geometrinen tulkinta menee oli sitten kyseessä Riemannin, Lebesguen, Stieltjesin tai vaikka Iton integraali.
pärkele. Käyräintegraali on käyrällä määritelty integraali ja pintaintegraali pinnalla. Puhutaan vielä esimerkiksi tilavuusintegraalista, joka on määritelty tilavuusalkiossa, joka on taas ylempiulotteisen avaruuden "pinta"-alkio. Eli kommentoijan dx2 molemmat esimerkit olivat tavallisen integraalin erikoistapauksia , eivätkä vastanneet kysymykseen. Vähemmän herkäksi sitä liipaisinsormea.