Matriisi A on positiivisesti definiitti jos > 0 kaikilla x =/= 0 (tässä on x:n ja y:n pistetulo). Prujussa todetaan lakonisesti, että matriisin "definiittisyyden" näkee suoraan diagonaalielementeistä ja perässä on jotain esimerkkejä.
Miten sen näkee diagonaalielementeistä?
positiivisesti definiitti matriisi
epädefiniittinen
5
1882
Vastaukset
- ffffs
Matriisi A on positiivisesti definiitti, jos
x'Ax>0 (x=/=0) (x' on transpoosi)
Jos sinä esität matriisin A muodossa A=V'DV, missä D on diagonaalimatriisi (lävistäjällä on ominaisarvot), niin matriisi on positiivisesti definiitti, jos
ominaisarvot ovat positiiviset, sillä x'Ax=x'V'DVx=y'Dy=d1y1^2 ... dnyn^2>0.
y=Vx, D:n alkiot ovat d1,..dn ja y:n alkiot y1,...,yn.
Entä jos ominaisarvot eivät ole positiiviset? Silloin voidaan valita sellainen x, että y=Vx alkiot y1,...,yn ovat positiivinen silloin kuin di=- epädefiniittinen
Näytti definiittisyyden määritelmäni pyyhkiytyneen pois, mutta sillä ei liene väliä.
Niin siis ominaisarvot ovat samat kuin matriisin diagonaalialkiot? En tyhmänä edelleenkään ymmärrä miten tuon definiittisyyden voi lukea suoraan annetun matriisin diagonaalielementeistä. Luulen, että leikkaat jonkin triviaalin asian pois enkä pysy kärryillä. - dx
epädefiniittinen kirjoitti:
Näytti definiittisyyden määritelmäni pyyhkiytyneen pois, mutta sillä ei liene väliä.
Niin siis ominaisarvot ovat samat kuin matriisin diagonaalialkiot? En tyhmänä edelleenkään ymmärrä miten tuon definiittisyyden voi lukea suoraan annetun matriisin diagonaalielementeistä. Luulen, että leikkaat jonkin triviaalin asian pois enkä pysy kärryillä.Jos tiedetään, että matriisi on joko positiivi- tai negatiividefiniitti, niin jos kaikki diagonaalin alkiot ovat positiivisia, matriisi on pos.def, jos taas kaikki negatiivisia, se on neg.def. Muutoin vektoreilla kuten v = [0 ... 1 ...0] tulisi jollain eri merkkisiä tuloksia, koska siis v'Av poimii A:n aina jonkun diagonaalialkion. Sen sijaan sitä, että onko matriisi positiivi- tai negatiividefiniitti ei voida päätellä diagonaalialkioista vaikka ne olisivat kuinka kaikki samanmerkkisiä.
- ffffs
epädefiniittinen kirjoitti:
Näytti definiittisyyden määritelmäni pyyhkiytyneen pois, mutta sillä ei liene väliä.
Niin siis ominaisarvot ovat samat kuin matriisin diagonaalialkiot? En tyhmänä edelleenkään ymmärrä miten tuon definiittisyyden voi lukea suoraan annetun matriisin diagonaalielementeistä. Luulen, että leikkaat jonkin triviaalin asian pois enkä pysy kärryillä.Olet siis ymmärtänyt että alkuperäisen matriisin A diagonaalialkioista näkisi suoraan jotain. No EI NÄE!!
Vaan sinun tulee diagonalisoida matriisi A, eli esittää se matriisien tulona
A=V'DV, missä D on matriisi jossa siis ominaisarvot ja V on ominaisvektoreista tehty matriisi (riippumattomista ominaisvektoreista)
Ja tarkastelet siis matriisin D diagonaalialkoita.
Teen esimerkin vielä 2x2 reaalisella symmetrisellä matriisilla
A=
2 1
1 3
Ratkaise yhtälöstä a arvot. det(A-aI)=0
eli (2-a)(3-a)-1=a^2-5a 4=0 eli a=4 tai a=1
Eli ominaisarvot ovat 4 tai 1
D=
4 0
0 1
V voit selvittää itse.
Eli ratkaiset mitkä vektorit sopivat Ax=4x ja Ax=x ja näistä muodostat V:n
Koska D ominaisarvot ovat positiiviset niin on myös
matriisi A pos.def. - definitisti
ffffs kirjoitti:
Olet siis ymmärtänyt että alkuperäisen matriisin A diagonaalialkioista näkisi suoraan jotain. No EI NÄE!!
Vaan sinun tulee diagonalisoida matriisi A, eli esittää se matriisien tulona
A=V'DV, missä D on matriisi jossa siis ominaisarvot ja V on ominaisvektoreista tehty matriisi (riippumattomista ominaisvektoreista)
Ja tarkastelet siis matriisin D diagonaalialkoita.
Teen esimerkin vielä 2x2 reaalisella symmetrisellä matriisilla
A=
2 1
1 3
Ratkaise yhtälöstä a arvot. det(A-aI)=0
eli (2-a)(3-a)-1=a^2-5a 4=0 eli a=4 tai a=1
Eli ominaisarvot ovat 4 tai 1
D=
4 0
0 1
V voit selvittää itse.
Eli ratkaiset mitkä vektorit sopivat Ax=4x ja Ax=x ja näistä muodostat V:n
Koska D ominaisarvot ovat positiiviset niin on myös
matriisi A pos.def.Nyt kun luen prujua kirjain kerrallaan, niin ilmeisestikin kirjoittaja on tarkoittanut tässä yhteydessä diagonaalimatriisia. Täytyy kyllä sanoa, että en olisi tuota tajunnut ellen olisi tiennyt mitä hän tarkoittaa..
Kiitos vastaajille, asia selvisi.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Martinan uusi poikakaveri
Sielläpä se sitten on. Instastoorissa pienissä speedoissa retkottaa uusin kulta Martinan kanssa. Oikein sydämiä laitettu2053161Suomessa helteet ylittää vasta +30 astetta.
Etelä-Euroopassa on mitattu yli +40 asteen lämpötiloja. Lähi-Idässä +50 on ylitetty useasti Lämpöennätykset rikkoutuva2391610Laita mulle viesti!!
Laita viesti mesen (Facebook) kautta. Haluan keskustella mutta sinun ehdoilla en halua häiriköidä tms. Yhä välitän sinus951462- 921369
Vanhemmalle naiselle
alkuperäiseltä kirjoittajalta. On olemassa myös se toinen joka tarkoituksella käyttää samaa otsikkoa. Ihan sama kunhan e461324Fazer perustaa 400 miljoonan suklaatehtaan Lahteen
No eipä ihme miksi ovat kolminkertaistaneen suklaalevyjensä hinnan. Nehän on alkaneet keräämään rahaa tehdasta varten.1561236Ajattelen sinua tänäkin iltana
Olet huippuihana❤️ Ajattelen sinua jatkuvasti. Toivottavasti tapaamme pian. En malttaisi odottaa, mutta odotan kuitenkin121178Ökyrikkaat Fazerit saivat 20 MILJOONAA veronmaksajien varallisuutta!
"Yle uutisoi viime viikolla, että Business Finland on myöntänyt Fazerille noin 20 miljoonaa euroa investointitukea. Faze1231009Miehelle...
Oliko kaikki mökötus sen arvoista? Ei mukavalta tuntunut, kun aloit hiljaisesti osoittaa mieltä ja kohtelit välinpitämät89922Tuntuu liian hankalalta
Lähettää sulle viesti. Tarvitsen apuasi ottaa koppi tilanteesta. Miehelle meni.44803