Matriisi A on positiivisesti definiitti jos > 0 kaikilla x =/= 0 (tässä on x:n ja y:n pistetulo). Prujussa todetaan lakonisesti, että matriisin "definiittisyyden" näkee suoraan diagonaalielementeistä ja perässä on jotain esimerkkejä.
Miten sen näkee diagonaalielementeistä?
Miten sen näkee diagonaalielementeistä?
Vastaukset 5
Vanhimmat
Matriisi A on positiivisesti definiitti, jos
x'Ax>0 (x=/=0) (x' on transpoosi)
Jos sinä esität matriisin A muodossa A=V'DV, missä D on diagonaalimatriisi (lävistäjällä on ominaisarvot), niin matriisi on positiivisesti definiitti, jos
ominaisarvot ovat positiiviset, sillä x'Ax=x'V'DVx=y'Dy=d1y1^2 ... dnyn^2>0.
y=Vx, D:n alkiot ovat d1,..dn ja y:n alkiot y1,...,yn.
Entä jos ominaisarvot eivät ole positiiviset? Silloin voidaan valita sellainen x, että y=Vx alkiot y1,...,yn ovat positiivinen silloin kuin di=
Näytti definiittisyyden määritelmäni pyyhkiytyneen pois, mutta sillä ei liene väliä.
Niin siis ominaisarvot ovat samat kuin matriisin diagonaalialkiot? En tyhmänä edelleenkään ymmärrä miten tuon definiittisyyden voi lukea suoraan annetun matriisin diagonaalielementeistä. Luulen, että leikkaat jonkin triviaalin asian pois enkä pysy kärryillä.
Jos tiedetään, että matriisi on joko positiivi- tai negatiividefiniitti, niin jos kaikki diagonaalin alkiot ovat positiivisia, matriisi on pos.def, jos taas kaikki negatiivisia, se on neg.def. Muutoin vektoreilla kuten v = [0 ... 1 ...0] tulisi jollain eri merkkisiä tuloksia, koska siis v'Av poimii A:n aina jonkun diagonaalialkion. Sen sijaan sitä, että onko matriisi positiivi- tai negatiividefiniitti ei voida päätellä diagonaalialkioista vaikka ne olisivat kuinka kaikki samanmerkkisiä.
Olet siis ymmärtänyt että alkuperäisen matriisin A diagonaalialkioista näkisi suoraan jotain. No EI NÄE!!
Vaan sinun tulee diagonalisoida matriisi A, eli esittää se matriisien tulona
A=V'DV, missä D on matriisi jossa siis ominaisarvot ja V on ominaisvektoreista tehty matriisi (riippumattomista ominaisvektoreista)
Ja tarkastelet siis matriisin D diagonaalialkoita.
Teen esimerkin vielä 2x2 reaalisella symmetrisellä matriisilla
A=
2 1
1 3
Ratkaise yhtälöstä a arvot. det(A-aI)=0
eli (2-a)(3-a)-1=a^2-5a 4=0 eli a=4 tai a=1
Eli ominaisarvot ovat 4 tai 1
D=
4 0
0 1
V voit selvittää itse.
Eli ratkaiset mitkä vektorit sopivat Ax=4x ja Ax=x ja näistä muodostat V:n
Koska D ominaisarvot ovat positiiviset niin on myös
matriisi A pos.def.
Nyt kun luen prujua kirjain kerrallaan, niin ilmeisestikin kirjoittaja on tarkoittanut tässä yhteydessä diagonaalimatriisia. Täytyy kyllä sanoa, että en olisi tuota tajunnut ellen olisi tiennyt mitä hän tarkoittaa..
Kiitos vastaajille, asia selvisi.