Lineaarinen operaattori

Kyllä lineaarisilla operaattoreilla yleensä tarkoitetaan lineaariavaruuksiin, ei mihin tahansa funktioihin, liittyviä operaattoreita.
Tuo edellisen kirjoittajan teksti on oikeastaan aika hyvä, vaikka otsikko viittaa vain "sinne päin". Matematiikan sanakirjoja ja termiluetteloita varmaan löytyy rutkasti netistä;en vaan nyt myöhään jaksa alkaa penkoa.

"Derivaatat sun muut on kaikki lineaarisia. Oikeestaan kaikki sellaset operaattorit jotka näyttää luonnollisilta on lineaarisia. Epälineaarinen operaattori olis esimerkiksi Of = f^2."

Luonnollisuus (tai kauneus) on katsojan silmässä. ;) Mutta siis hyvin moni luonnollinenkin operaattori voi olla epälineaarinen, joskin lineaariset differentiaali- ja integraalioperaattorit ovat kyllä yleisin operaattoriluokka mitä yleensä missään näkee. Kvanttimekaniikassa kaikki on kauniin lineaarista, mutta sen sijaan esimerkiksi virtausmekaniikassa operaattorit ovat välillä epälineaarisiakin.

Epälineaarisuus on hauska termi sinänsä - niin kuin klassinen vitsi menee, että se on sama kuin puhuttaisiin termillä ei-elefanttiset eläimet kun tarkoitetaan muita eläimiä paitsi elefantteja.

dx kirjoitti:

"Derivaatat sun muut on kaikki lineaarisia. Oikeestaan kaikki sellaset operaattorit jotka näyttää luonnollisilta on lineaarisia. Epälineaarinen operaattori olis esimerkiksi Of = f^2."

Luonnollisuus (tai kauneus) on katsojan silmässä. ;) Mutta siis hyvin moni luonnollinenkin operaattori voi olla epälineaarinen, joskin lineaariset differentiaali- ja integraalioperaattorit ovat kyllä yleisin operaattoriluokka mitä yleensä missään näkee. Kvanttimekaniikassa kaikki on kauniin lineaarista, mutta sen sijaan esimerkiksi virtausmekaniikassa operaattorit ovat välillä epälineaarisiakin.

Epälineaarisuus on hauska termi sinänsä - niin kuin klassinen vitsi menee, että se on sama kuin puhuttaisiin termillä ei-elefanttiset eläimet kun tarkoitetaan muita eläimiä paitsi elefantteja.

Lue lisää

olisi sitten perusesimerkki virtausmekaniikassa olevista epälineaarisista operaattoreista? Ainoa asia minkä itse olen nähnyt (ja olen liian laiska etsimään :) on Korteweg-de Vries -yhtälö, joka lienee muotoa du/dt d^3u/dx^3 -6 u du/dx = 0 (mathworldin mukaan). Tämähän on selvästi epälineaarinen, mutta en itse menisi ikinä ajattelemaan koko yhtälöä niin, että olisi joku Korteweg-deVries-operaattori joka operoi funktioon u. Ja tässä tosiaan ajattelen ihan puhtaasti operaattoreita ja vektoreita kuten kvanttimekaniikassa. Puhun siis jostain Hilbertin avaruuden tyylisestä rakennelmasta ja siinä elävistä vektoreista (koska en muuta tiedä).

Clamtrox kirjoitti:

olisi sitten perusesimerkki virtausmekaniikassa olevista epälineaarisista operaattoreista? Ainoa asia minkä itse olen nähnyt (ja olen liian laiska etsimään :) on Korteweg-de Vries -yhtälö, joka lienee muotoa du/dt d^3u/dx^3 -6 u du/dx = 0 (mathworldin mukaan). Tämähän on selvästi epälineaarinen, mutta en itse menisi ikinä ajattelemaan koko yhtälöä niin, että olisi joku Korteweg-deVries-operaattori joka operoi funktioon u. Ja tässä tosiaan ajattelen ihan puhtaasti operaattoreita ja vektoreita kuten kvanttimekaniikassa. Puhun siis jostain Hilbertin avaruuden tyylisestä rakennelmasta ja siinä elävistä vektoreista (koska en muuta tiedä).

Lue lisää

Jos Schrödingerin yhtälö on osittaisdifferentiaaliyhtälö muotoa

(ih)dPsi/dt = H Psi,

jossa H on joku lineaarioperaattori, niin ihan analogisesti vaikkapa tuon sinun yhtälösi voi esittää muodossa

du/dt = H u

jossa H on epälineaarinen operaattori. Navier-Stokes-yhtälöissäkin on epälineaarinen operaattori vastaavalla tavalla. Hilbert-tyyppinen funktioavaruus käy ihan hyvin avaruudeksi ja se lieneekin se luonnollisin valinta.

dx kirjoitti:

Jos Schrödingerin yhtälö on osittaisdifferentiaaliyhtälö muotoa

(ih)dPsi/dt = H Psi,

jossa H on joku lineaarioperaattori, niin ihan analogisesti vaikkapa tuon sinun yhtälösi voi esittää muodossa

du/dt = H u

jossa H on epälineaarinen operaattori. Navier-Stokes-yhtälöissäkin on epälineaarinen operaattori vastaavalla tavalla. Hilbert-tyyppinen funktioavaruus käy ihan hyvin avaruudeksi ja se lieneekin se luonnollisin valinta.

Lue lisää

En ole vaan tottunut ajattelemaan kaikenmaailman epälineaarisia differentiaaliyhtälöitä jonkin operaattorin generoimina -- kuten jo tossa aiemmin totesin, se näyttää oudolta.

Sen voisi tähän vielä lisätä, että kvanttikenttäteoriassahan pääsee takaisin epälineaarisuuden syrjään kiinni. Yleensä yhtälöistä mainitaan vain lineaariset "vapaan hiukkasen" tapaukset, mutta aina kun hiukkaset pääsevät vuorovaikuttamaan keskenään (riittää myös itsensä kanssa), teoria ja liikeyhtälöt muuttuu epälineaarisiksi.