Lp loc avaruus

Muistaakseni normi oli (int |f|^p)^(1/p), mutta kun omista opinnoista on jo aikaa. Miten voit sanoa tunnetusti, jos et käy todistuksen yksityiskohtia läpi kunnolla? Siitähän se normi selviää.

Ärsyttää joskus tällaiset "tunnetusti jotain", koska oikeastihan tällaiset ovat vaan merkintätapoja jotka vaihtelevat kirjasta/maasta/kirjoittajasta toiseen. Ilmeisesti tarkoitat Lp_loc:llä sellaisten funktioiden vektoriavaruutta, joille p-normi kaikkien kompaktien joukkojen yli on äärellinen. Itse en näe tässä määritelmässä normia, joka tekisi siitä normeeratun avaruuden, vektoriavaruus se kyllä on. Luulisi, että tuossa sup-kaikkien-kompaktien yli tai vastaavassa määritelmässä tulee ongelmaksi juuri sama syy miksi alunperin ei voitu määritellä mille tahansa K, eli se joku rajakäyttäytyminen. Ehkä siellä lähteessä on keksitty joku normi tuolle avaruudellesi?

En ole koskaan törmännyt Lp_{loc}-avaruuden yhteydessä mainintaan mistään yksittäisestä normista. Sup-määritelmä ei toimi, sillä esimerkiksi vakiofunktiot ovat Lp_{loc}-funktioita, mutta sup-määritelmän antama 'normi' on ääretön. Luulisin, että tällaisessa tilanteessa järkevä topologia saadaan määriteltyä ennemminkin seminormiperheen |f|_K = (int_K |f|^p)^{1/p} avulla, missä K voi olla mikä hyvänsä kompakti joukko. Näiden seminormien indusoima topologia (yksinkertaisesti siis karkein topologia, jonka suhteen seminormit f --> |f|_K ovat jatkuvia funktioita Lp_{loc}-avaruudessa) on lokaalisti konveksi vektoritopologia (eli tietyssä mielessä hyvä topologia). Olen aika varma, että se ei ole 'normeerautuva', eli ei edes ole olemassa mitään yksittäistä normia, joka sen indusoisi.