Tuli vain mieleen. Tunnetusti Lp_(loc) on normiavaruus johon kuuluvat funktiot u s.e. u kuuluu Lp(K):hon kaikilla kompakteilla K. Mutta miten tämän avaruuden normi oikeastaan määritellään? Suppinako yli kaikkien kompaktien K?
Lp loc avaruus
ajatuskatko
5357
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 5
Vanhimmat
Muistaakseni normi oli (int |f|^p)^(1/p), mutta kun omista opinnoista on jo aikaa. Miten voit sanoa tunnetusti, jos et käy todistuksen yksityiskohtia läpi kunnolla? Siitähän se normi selviää.
^Tuo on Lp:n normi. Jos lähtöjoukko ei ole kompakti, tuo ei ole välttämättä edes määritelty sillä avaruuden jäsenten ei tarvitse olla integroituvia koko lähtöjoukossa vaan ainoastaan lähtöjoukon kompakteissa osajoukoissa.
Innolla kävisin todistuksen kimppuun jos sellainen olisi käsillä.
Ärsyttää joskus tällaiset "tunnetusti jotain", koska oikeastihan tällaiset ovat vaan merkintätapoja jotka vaihtelevat kirjasta/maasta/kirjoittajasta toiseen. Ilmeisesti tarkoitat Lp_loc:llä sellaisten funktioiden vektoriavaruutta, joille p-normi kaikkien kompaktien joukkojen yli on äärellinen. Itse en näe tässä määritelmässä normia, joka tekisi siitä normeeratun avaruuden, vektoriavaruus se kyllä on. Luulisi, että tuossa sup-kaikkien-kompaktien yli tai vastaavassa määritelmässä tulee ongelmaksi juuri sama syy miksi alunperin ei voitu määritellä mille tahansa K, eli se joku rajakäyttäytyminen. Ehkä siellä lähteessä on keksitty joku normi tuolle avaruudellesi?
En ole koskaan törmännyt Lp_{loc}-avaruuden yhteydessä mainintaan mistään yksittäisestä normista. Sup-määritelmä ei toimi, sillä esimerkiksi vakiofunktiot ovat Lp_{loc}-funktioita, mutta sup-määritelmän antama 'normi' on ääretön. Luulisin, että tällaisessa tilanteessa järkevä topologia saadaan määriteltyä ennemminkin seminormiperheen |f|_K = (int_K |f|^p)^{1/p} avulla, missä K voi olla mikä hyvänsä kompakti joukko. Näiden seminormien indusoima topologia (yksinkertaisesti siis karkein topologia, jonka suhteen seminormit f --> |f|_K ovat jatkuvia funktioita Lp_{loc}-avaruudessa) on lokaalisti konveksi vektoritopologia (eli tietyssä mielessä hyvä topologia). Olen aika varma, että se ei ole 'normeerautuva', eli ei edes ole olemassa mitään yksittäistä normia, joka sen indusoisi.
Eikös ainakin metriikka voida määritellä tässä tapauksessa
d(x,y) = sum_{n \to \infty} 2^(-n) (rho_n(x-y)) / (1 rho_n(x-y))
missä {rho_n} on seminormien perhe? Saadaanko tästä Banach-avaruus?