9. Määritä funktioiden muutosnopeus graafisin menetelmin. Päättele muutosnopeuden merkin perusteella, onko funktio kasvava vai vähenevä.
a) f(x) = 3x 4
b) g(x) = -x - 2
16. Tutki derivaatan avulla, millä muuttujan arvoilla funktio kasvaa ja millä vähenee.
a) f(x) = -x 2 4x - 3 b) g(x) = x3 - 12x
17. Millä muuttujan x arvoilla funktio f(x) = (2x -3)(x - 2) on kasvava?
a) f(x) = 3x 4
b) g(x) = -x - 2
16. Tutki derivaatan avulla, millä muuttujan arvoilla funktio kasvaa ja millä vähenee.
a) f(x) = -x 2 4x - 3 b) g(x) = x3 - 12x
17. Millä muuttujan x arvoilla funktio f(x) = (2x -3)(x - 2) on kasvava?
Vastaukset 14
Vanhimmat
Käy läpi tarkkaan nuo edellisetkin (nimim.M lähettämäsi) laskujen ratkaisut, sieltä löytyy eväät näidenkin tekemiseen. Tosin löytyy eväät, vaikka joku toinenkin ne olisi lähettänyt. Valmiit omaksumattomat laskut eivät paljon opiskeluja eteenpäin vie.
mitä pahaa on avun pyytämisessä...? eivät kaikki osaa matematiikkaa..
eivätkä kaikki tosiaan ole mitään astrofyysikoita ...
jotkut ovat hyviä matemaattisissa aineissa ja jotkut muut taas jossain muissa aineissa ja asioissa..
tosiaan vaan ihan että pääsisin nuo kesäkurssit läpi..
ja läpi pääseminen edellyttää vain joidenkin tehtävien tekemisen...
ei mitään tenttejä tai muuta eikä matematiikkaa ole pakko
kirjoittaa YO-kirjoituksissa...
joten en tarvitse näitä laskutaitoja
mihinkään tulevaisuudessa. Esim. lukion geometriassa olen ihan ok
tilastollisissa laskuissa ja talousmatematiikassa mutta juuri näissä
en ole hyvä.... Ja mielelläni voisin kuluttaa aikaani näidenkin asioiden
opiskelemiseen mutta aikaa ei vaan riitä....Ja jos nämä kävisin kaikki
opettelemaan niin eipä aika riittäisi !
Onko reilua tulla tänne matematiikka palstalle aukomaan naamaansa
varsinkaan sellaisille jotka eivät ole samoissa asioissa yhtä guruja
kuin sinä ? Kaikki olen itse opiskellut aina...nyt tosiaan on aika kiire !
Ei kai sitä apua huvikseen täällä kukaan pyydä ??
No, onhan se jotenkin erikoinen tilanne, että pitää osallistua johonkin kurssiin, minkä sisältöä ei tarvitse osata, sitä ei tentitä, eikä osallistujalleen ole mitään merkitystä. Nykyajan tapaan 'ulkoistaa' suoritus, todistuksen saat sinä :/
Näissä puitteissa (sanonnan tapaan) ei kai "tyhmä ole se joka pyytää, vaan..." Mutta netti on joskus ihmeellinen, joku voi sattumoisin ja muistia verestääkseen laskeskellakin tarjontaasi ja siinä siivellä pääset kuin koira veräjästä ja mikäs siinä jos niin käy. Ennen muinoin 'ovela' maalaisisäntä saattoi yrittää teettää talkoilla (=ilmaiseksi) jatkuvasti raskaimmat peltotyöt. Pitemmän päälle tällaiseen isäntään naapurisuhteet yleensä myrkyttyivät.
Niinpä. Sellaiseen kai olisi moraalisesti välttämätöntä reagoida vastaamalla näennäisen oikein mutta todellisuudessa sillä tavoin väärin, että opettaja huomaa, että vastaus on kopioitu ymmärtämättä sitä lainkaan. Ei kai kysyjä muuten opi, etenkään kun suoltaa kysymyksiään lisää koko ajan.
On paljon parempi jäädä huijaamisesta kiinni jossain hömppäkesäkurssissa kuin menestyä aluksi ja sitten jäädä rysän päältä kiinni vakavassa asiassa myöhemmin.
Kiva siis, että tuollaisia narutusvastauksia onkin jo annettu.
9. Määritä funktioiden muutosnopeus graafisin menetelmin. Päättele muutosnopeuden merkin perusteella, onko funktio kasvava vai vähenevä.
a) f(x) = 3x 4
b) g(x) = -x - 2
Molempien funktioiden kuvaajat ovat suoria. Kulmakertoimet ovat 3 ja -1. Kulmakertoimen ollessa positiivinen suora on nouseva. Kulmakertoimen ollessa negatiivinen suora taas on laskeva. Siten funktio f(x) on kasvava ja g(x) vähenevä.
16. Tutki derivaatan avulla, millä muuttujan arvoilla funktio kasvaa ja millä vähenee.
a) f(x) = -x² 4x - 3 b) g(x) = x³ - 12x
a) f´(x) = -2x 4
-2x 4 = 0 II-4
-2x = -4 II:(-2)
x = 2
Derivaattafunktion kuvaaja on laskeva suora. (Piirrä kuvio!)
kasvava: ] -∞, 2 ]
vähenevä: [ 2, ∞ [
b) g´(x) = 3x² - 12
3x² - 12 = 0 II 12
3x² = 12 II:3
x² = 4
x = -2 tai x = 2
Derivaattafunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. (Piirrä kuvio!)
kasvava: ] -∞, -2 ] tai [ 2, ∞ [
vähenevä: [ -2, 2 ]
17. Millä muuttujan x arvoilla funktio f(x) = (2x -3)(x - 2) on kasvava?
f(x) = (2x-3)(x-2) = 2x² - 4x - 3x 6 = 2x² -7x 6
f´(x) = 4x - 7
4x - 7 = 0 II 7
4x = 7 II:4
x = 7/4
Derivaattafunktion kuvaaja on nouseva suora. (Piirrä kuvio!)
kasvava: [ 7/4, ∞ [
kiitos paljon kaikille vastanneille tästä !
iso kiitos ja haleja :)
vielä muutama lasku....
18. Määritä funktion mahdolliset ääriarvot.
a) f(x) = x2 - x
b) g(x) = x3 - x2
c) h(x) = -5x 6
19. Etsi seuraavien funktioiden maksimi- ja minimiarvot annetuilla väleillä:
a) f(x) = x 2 - 5x 2 , välillä [0, 4]
b) f(x) = x 4 2x 3 2 , välillä [-2, 3]
c) f(x) = x 3 - 2x 2 - 4x , välillä [-1, 3]
20. Suorakulmion sivujen a ja b summa on 50. Etsi sivujen pituuksien arvot, joilla suorakulmion pinta-ala olisi mahdollisimman suuri.
muistelen lukion matematiikan opettajaamme 70-luvun lopulta, kun hän opetti meille ääriarvolausetta "suljetulla välillä jatkuvan funktion suurin tai pienin arvo on välin päätepisteessä tai ääriarvokohdassa" ja sanoi, ette meistä kukaan tule muistamaan sitä kymmenen vuoden kuluttua. Kiusallankikin opettelin sen sanatarkasti, ja myös ymmärsin sen merkityksen. Sinänsä hyvä konsti saada jotkut oppimaan jotakin...
se vaan pyrkii olemaan sillain, että jos jonkun homman oikeasti omaksuu, ei se silloin unohdu (tai voi unohtua pintapuolisesti, mutta kun idea on tallessa, niin helposti palautuu).
Kurinalaisen ajattelun harjoituksinahan tuollaiset ovat hyviä, mutta onko ollut käytännön arjessa konkreettista käyttöä tuollaisila lauseilla? :)
ps. en tietenkään tarkoita niitä, jotka jatkavat matikan parissa jotenkin; koska silloin joutuu opettelemaan asioita vain siksi, että sitä palapelin palaa saatetaan tarvita jatkossa edelleen todisteluun.
Juu, ymmärrän mitä tarkoitat. esim. Geometria kurssista sain 7 eli
pärjäsin ihan ok. Mutta tämä kurssi on vaikea...ja muutenkin on
mielestäni vähän hassua että matematiikkaa on näin monta pakollista
kurssia lukiossa...ja vielä kaiken lisäksi tehtävät ovat sellaisia joita
ei tarvitse missään jatkossa...turhauttaa siis opetella mitään derivaattaa
ja algebraa muita...oikeesti. Niinkuin joku joskus sanoi: "Vihaan kahta asiaa,
sinihomejuustoa ja derivaattaa. jos haluan kiduttaa itseäni alan pohtimaan
niitä tarkemmin."
Mielestäni noita matskun kursseja voisi olla vähän vähemmän.....
18. Määritä funktion mahdolliset ääriarvot.
a) f(x) = x² - x
b) g(x) = x³ - x²
c) h(x) = -5x 6
a) f´(x) = 2x - 1
2x -1 = 0 x = ½
Derivaattafunktion kuvaaja on nouseva suora.
Piirrä funktion kulkukaavio.
minimikohta: x = ½
minimiarvo: f(½) = (½)² - ½ = - 0,25
b) g´(x) = 3x² - 2x
3x² - 2x = 0 x = 0 tai x = 2/3
Derivaattafunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli.
Piirrä taas funktion kulkukaavio.
maksimikohta: x = 0
maksimiarvo: f(0) = 0³ - 0² = 0
minimikohta: x = 2/3
minimiarvo: f(2/3) = (2/3)³ - (2/3)² = - 4/27
c) Funktiolla h(x) ei ole ääriarvoja.
20. Suorakulmion sivujen a ja b summa on 50. Etsi sivujen pituuksien arvot, joilla suorakulmion pinta-ala olisi mahdollisimman suuri.
A = ab (1)
Toisaalta tiedetään, että
a b = 50 b = 50 - a (2)
Sijoittamalla (2) yhtälöön (1) saadaan
A = a(50 - a) = 50a - a²
Etsitään funktion
f(a) = 50a - a²
suurin arvo välillä [ 0, 50 ].
f´(a) = 50 - 2a
Määritetään derivaatan nollakohdat.
50 - 2a = 0
2a = 50 II:2
a = 25
Lasketaan funktion arvo derivaatan nollakohdassa ja välin päätepisteissä.
f(0) = 50 * 0 - 0² = 0
f(25) = 50 * 25 - 25² = 625 suurin
f(50) = 50 * 50 - 50² = 0
Kyseessä on siis (yllättäen) neliö, jonka sivun pituus on 25.