21. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:
a) -2x 2 3x 5 ≥ 0
b) x 2 x - 2 < 0
c) x 2 - 8x ≥ -16
24. Milloin funktio f(x) = (-3x 10)2 on
a) kasvava
b) aidosti vähenevä
25. Määritä funktion f(x) = -x 2 2x 1 muutosnopeus pisteessä x = 2 käyttämällä graafista menetelmää.
26. Derivoi seuraavat lausekkeet:
a.) 0,3x^10 b.) (3x^2)^3 c.) \sqrt{\;} ( 6^8)
d.) ( x /3)^3 e.) x^3 4 / x^2 f.) 2s^5 - 7s^4
27. Määrittele funktion f(x) = x 2 - 4x derivaatta pisteissä x = 1, x= 2 ja x = 3 graafisesti ja käyttämällä derivoimissääntöjä. Vertaile tuloksia. Minkälaisia johtopäätöksiä voidaan tehdä?
28. Ratkaise yhtälö f ´(x) = 27 , kun f (x) = 3x 3 - 9x 12.
29. Tutki derivaatan avulla funktion f (x) = 4/3 x3 5/2 x2 12/2 käyttäytymistä,
kun x ∈[-2, 1].
30. Olkoon f(x) = 5x 3 4x 2 x - 12. Määritä
a) f(-2)
b) f ´(-2)
c) milloin f ´(x) = 0
31. Olkoon g(a) = a^6 5a^3 - 4a^2. Määritä
a) g(-3)
b) g ´(-1)
c) g ´(a)
32. Laske seuraavien funktioiden derivaattojen arvot pisteessä x = 3, kun
a) f (x) = -x^2 2/x^2
b) g (x) = - 1/ x - (x 1)^2
c) h(x) = ( x -1^2)
33. Selitä mitä derivaatta tarkoittaa. Mitä derivaatan avulla voidaan tutkia?
34. Osoita, että funktio f(x) = -2x2 x - 2 saa vain negatiivisia arvoja.
35. Osoita, että funktio f(x) = 2x 3 6x - 7 on kaikkialla aidosti kasvava.
36. Kahden luvun summa on 80. Määrittele luvut niin, että niiden tulo olisi mahdollisimman suuri.
37. Millä a:n arvolla funktion g(x) = ax 2 - 2x minimi välillä [0, 10] sijaitsee pisteessä x= 1/5 ?
38. Puutarhuri haluaa tehdä kukkaistutuksen siten, että istutukseen tulle rinnakkain viisi samankokoista suorakulmion muotoista aluetta, jotka reunustetaan muovisella reunusnauhalla (alueiden väliin tulee yksinkertainen reunus). Reunusnauhaa on käytettävissä 80 m. Kuinka mitat tulisi valita, jotta koko istutusalueesta saadaan mahdollisimman suuri? Mikä on tällöin koko istutusalueen yhteispinta-ala?
39. Pahvinpalasta, jonka koko on 30 cm x 50 cm halutaan valmistaa tilavuudeltaan mahdollisimman suuri suorakulmaisen särmiön muotoinen kanneton rasia siten, että kulmista leikataan pois neliön muotoiset palat. Minkä kokoiset palat pitää leikata pois? Mikä on tällöin rasian tilavuus?
40. Uima-allasta tyhjennettäessä altaassa olevaa veden määrää kuvaa funktio V(t) = 600(20 - t) 2, jossa t on aika minuutteina. Allas tyhjenee nopeudella q(t) = -V ´(t) (litraa/minuuutti). Altaan tyhjeneminen alkaa ajan hetkellä t = 0.
a) Kuinka kauan menee altaan tyhjenemiseen?
b) Milloin tyhjenemisnopeus on suurimmillaan?
c) Kuinka pitkän ajan kuluttua allas on puolillaan?
a) -2x 2 3x 5 ≥ 0
b) x 2 x - 2 < 0
c) x 2 - 8x ≥ -16
24. Milloin funktio f(x) = (-3x 10)2 on
a) kasvava
b) aidosti vähenevä
25. Määritä funktion f(x) = -x 2 2x 1 muutosnopeus pisteessä x = 2 käyttämällä graafista menetelmää.
26. Derivoi seuraavat lausekkeet:
a.) 0,3x^10 b.) (3x^2)^3 c.) \sqrt{\;} ( 6^8)
d.) ( x /3)^3 e.) x^3 4 / x^2 f.) 2s^5 - 7s^4
27. Määrittele funktion f(x) = x 2 - 4x derivaatta pisteissä x = 1, x= 2 ja x = 3 graafisesti ja käyttämällä derivoimissääntöjä. Vertaile tuloksia. Minkälaisia johtopäätöksiä voidaan tehdä?
28. Ratkaise yhtälö f ´(x) = 27 , kun f (x) = 3x 3 - 9x 12.
29. Tutki derivaatan avulla funktion f (x) = 4/3 x3 5/2 x2 12/2 käyttäytymistä,
kun x ∈[-2, 1].
30. Olkoon f(x) = 5x 3 4x 2 x - 12. Määritä
a) f(-2)
b) f ´(-2)
c) milloin f ´(x) = 0
31. Olkoon g(a) = a^6 5a^3 - 4a^2. Määritä
a) g(-3)
b) g ´(-1)
c) g ´(a)
32. Laske seuraavien funktioiden derivaattojen arvot pisteessä x = 3, kun
a) f (x) = -x^2 2/x^2
b) g (x) = - 1/ x - (x 1)^2
c) h(x) = ( x -1^2)
33. Selitä mitä derivaatta tarkoittaa. Mitä derivaatan avulla voidaan tutkia?
34. Osoita, että funktio f(x) = -2x2 x - 2 saa vain negatiivisia arvoja.
35. Osoita, että funktio f(x) = 2x 3 6x - 7 on kaikkialla aidosti kasvava.
36. Kahden luvun summa on 80. Määrittele luvut niin, että niiden tulo olisi mahdollisimman suuri.
37. Millä a:n arvolla funktion g(x) = ax 2 - 2x minimi välillä [0, 10] sijaitsee pisteessä x= 1/5 ?
38. Puutarhuri haluaa tehdä kukkaistutuksen siten, että istutukseen tulle rinnakkain viisi samankokoista suorakulmion muotoista aluetta, jotka reunustetaan muovisella reunusnauhalla (alueiden väliin tulee yksinkertainen reunus). Reunusnauhaa on käytettävissä 80 m. Kuinka mitat tulisi valita, jotta koko istutusalueesta saadaan mahdollisimman suuri? Mikä on tällöin koko istutusalueen yhteispinta-ala?
39. Pahvinpalasta, jonka koko on 30 cm x 50 cm halutaan valmistaa tilavuudeltaan mahdollisimman suuri suorakulmaisen särmiön muotoinen kanneton rasia siten, että kulmista leikataan pois neliön muotoiset palat. Minkä kokoiset palat pitää leikata pois? Mikä on tällöin rasian tilavuus?
40. Uima-allasta tyhjennettäessä altaassa olevaa veden määrää kuvaa funktio V(t) = 600(20 - t) 2, jossa t on aika minuutteina. Allas tyhjenee nopeudella q(t) = -V ´(t) (litraa/minuuutti). Altaan tyhjeneminen alkaa ajan hetkellä t = 0.
a) Kuinka kauan menee altaan tyhjenemiseen?
b) Milloin tyhjenemisnopeus on suurimmillaan?
c) Kuinka pitkän ajan kuluttua allas on puolillaan?
Vastaukset 14
Vanhimmat
1) Eivät ole "melko haastavia", ovat "helppoja perustehtäviä".
2) Mene pois.
3) Tee itse.
Ihan oikeasti, opastan ja teenkin mielelläni jos joku laittaa tänne tehtävän tai pari, mutta tällainen kertauskokeen tai vastaavan suora dumppaaminen foorumille ilman, että yrittää edes itse, on silkkaa patalaiskuutta.
Ehkä sinulle helppoja mutta itselle ainakin tosi vaikeita...
sitäpaitsi mitä pahaa tässä on ? ei ainakaan mitään haittaa ..
Mikä sua ärsyttää ? Mene itse pois jos et kestä tätä palstaa....huh,
kaikkea sitä näkee nykyään netissä...Sitäpaitsi eikö tämä matikkapalsta
ole juuri tätä laskemista ja laskujakin varten?en oikein ymmärrä
tuohtumustasi.....
Ps. teen myös itse tehtäviä....
Kannattaa oikeasti ratkoa ja harjotella niitä eikä kopioida vastauksia.
eikö teillä koulussa voi keskustella tehtävistä mitä ei osaa ratkaista?
21. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:
a) -2x² 3x 5 ≥ 0
b) x² x - 2 < 0
c) x² - 8x ≥ -16
a) -2x² 3x 5 ≥ 0
Ratkaistaan ensin vastaava yhtälö:
-2x² 3x 5 = 0 x = -1 tai x = 5/2
Hahmottele paperille kuva alaspäin aukeavasta paraabelista.
Vastaus: -1 ≤ x ≤ 5/2
b) x² x - 2 < 0
Ratkaistaan ensin vastaava yhtälö:
x² x - 2 = 0 x = -2 tai x = 1
Hahmottele paperille kuva ylöspäin aukeavasta paraabelista.
Vastaus: -2 < x < 1
c) x² - 8x ≥ -16 II 16
x² - 8x 16 ≥ 0 (Muistikaava: a² - 2ab b² = (a - b)²)
(x - 4)² ≥ 0, joka on tosi kaikilla x:n arvoilla
25. Määritä funktion f(x) = -x² 2x 1 muutosnopeus pisteessä x = 2 käyttämällä graafista menetelmää.
Tuon funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Piirrä pisteeseen (2,1) tangentti ja määritä sen kulmakerroin. Vastaukseksi pitäisi tulla -2.
28. Ratkaise yhtälö f ´(x) = 27 , kun f (x) = 3x³ - 9x 12.
f´(x) = 9x² - 9
9x² - 9 = 27 II 9
9x² = 36 II:9
x² = 4
x = -2 tai x = 2
30. Olkoon f(x) = 5x³ 4x² x - 12. Määritä
a) f(-2)
b) f ´(-2)
c) milloin f ´(x) = 0
a) f(-2) = 5*(-2)³ 4*(-2)² (-2) - 12 = -38
b) f´(x) = 15x² 8x 1
f´(-2) = 15*(-2)² 8*(-2) 1 = 45
c) 15x² 8x 1 = 0 x = -1/3 tai x = -1/5
39.
Poisleikattavan neliön sivun pituus on x. Silloin laatikon pohjan ala on
(30 - 2x) * (50 - 2x) ja laatikon tilavuus siis x * (30 - 2x) * (50 - 2x). Derivaatta saadaan helpommin, kun suoritetaan kertolaskut, jolloin tilavuus
V(x) = 4x^3 - 160x^2 1500x, josta derivaatta
V'(x) = 12x^2 - 320x 1500 = 4 * (3x^2 - 80x 375).
Derivaatan nollakohdat saadaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta:
x = (80 - sqrt(6400 - 4 * 3 * 375) / 6
= (80 - sqrt(1900)) / 6 = (80 -10* sqrt(19)) / 6.
V(x) on kolmannen asteen polynomi, jonka kuvaaja kulkee kulkee origon kautta. Ensin se nousee ylöspäin. Sitten se tekee mutkan alas ja nousee taas kohti ääretöntä, kun x kasvaa. Täten pienempi nolakohdista on maksimi. Maksimikohdan on
xmax = (80 - 10 * sqrt(19)) / 6 = 5 * (8 - sqrt(19)) / 3 = 6.06850 cm.
Näin saadun laatikon mitat ovat 17,863 cm * 37,863 cm * 6,0685 cm, ja sen tilavuus on
4104,4 cm^3. Tilavuuden tarkka arvo lausekkeena missä esiinty sqrt(19) vaatii hieman ruumiilista työtä.
Tehtävä oli periaatteessa hyvin yksinkertainen, mutta sen ratkaisu vaati jo hieman pyörittämistä. Koulumatematiikka näyttää jääneen 1700-luvulle. Jos e.m. tehtävä todella pitäisi ratkaista numeerisesti, jo taulukkolaskentaohjelman avulla voitaisiin helposti haarukoida ratkaisu parin kolmen numeron tarkkuudella.
Tarkempi numeerinen ratkaisu saataisiin esimerkiksi 1/4-haulla. Siinä tutkittava väli [a,b] jaetaan neljään yhtäpitkään osaan pisteillä x1, x2 ja x3. Sitten katsotaan onko funktiolla kupu välillä
[a, x2], [x1, x3] tai [x2,b], Jos se on esimerkiksi välillä [x2, b], niin se otetaan uudeksi hakuväliksi, jonka pituus on puolet edellisestä.
Derivaattoja käytetään ääriarvotehtävissä erityisesti fysiikassa ja tekniikassa vain, jos halutaan saada yleispäteviä ehtoja teoreettisissa tarkasteluissa.
31. Olkoon g(a) = a^6 5a^3 - 4a^2. Määritä
a) g(-3)
b) g ´(-1)
c) g ´(a)
a) g(-3) = (-3)^6 5*(-3)^3 - 4*(-3)^2 = 558
c) g´(a) = 6a^5 15a^2 - 8a
b) g´(-1) = 6*(-1)^5 15*(-1)^2 - 8*(-1) = 17
35. Osoita, että funktio f(x) = 2x³ 6x - 7 on kaikkialla aidosti kasvava.
f´(x) = 6x² 6 = 6(x² 1) > 0 kaikilla x:n arvoilla, koska x² 1 > 0
Funktion derivaatan arvo on siis aina positiivinen, joten se on kaikkialla aidosti kasvava. □
36. Kahden luvun summa on 80. Määrittele luvut niin, että niiden tulo olisi mahdollisimman suuri.
Olkoon x ensimmäinen luku ja 80-x toinen luku.
f(x) = x(80-x) = 80x - x²
f´(x) = 80 - 2x
f´(x) = 0 80 - 2x = 0 2x = 80 x = 40
Esimerkiksi funktion kulkukaavion avulla voit osoittaa, että kyseessä on maksimikohta.
Vastaus: Luvut ovat 40 ja 40.
37. Millä a:n arvolla funktion g(x) = ax² - 2x minimi välillä [0, 10] sijaitsee pisteessä x= 1/5 ?
g´(x) = 2ax - 2
g´(1/5) = 0 2a/5 - 2 = 0 2a = 10 a = 5
34. Osoita, että funktio f(x) = -2x² x - 2 saa vain negatiivisia arvoja.
-2x² x - 2 = 0
D = 1²-4*(-2)*(-2) = -15 < 0
Koska diskriminantti on negatiivinen, yhtälöllä ei ole yhtään (reaalista) juurta eli funktiolla f ei ole yhtään nollakohtaa.
Funktion f kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, koska x²-termin kerroin on negatiivinen.
Siten f:n kuvaaja on aina x-akselin alapuolella ja siten se saa vain negatiivisia arvoja. □