AA
A A A
Opastus ja palaute
liity jäseneksi!

 /   /  /  / miten voidaan laskea epäsäännöllisen kolmion pinta-ala?

miten voidaan laskea epäsäännöllisen kolmion pinta-ala?

22 Vastausta 1 832 Lukukertaa
Siis jos epäsäännöllinen kolmio piirrettynä koordinaatistoon,
ja sen pisteet ovat : A=(-3,0) B=(1,-2) ja C=(5,2)

Noista siis muodostuu epäsäännöllinen kolmio...ja pitäisi laskea sen ala...
Ohjeistuksessa sanotaan että tällaisen kolmion ala voidaan laskea vain
jos tiedetään sivujen pituuksia...joten miten tällainen voidaan laskea, jos
ei tiedetä oikeastaan mitään... Pitääkö ensin selvittää sivujen pituuksia tai
määrittää kulmien suuruuksia ?

Kiitos kaikille neuvoista :)
Missäs ohjeistuksessa noin väitetään? Ehkäpä olet ymmärtänyt ohjeistuksen hiukan väärin. Kolmiossahan on kolme kulmaa ja kolme sivua. Jos näistä kuudesta suureesta kolme tunnetaan, ja ainakin yksi tunnetuista suureista on sivun pituus, on kolmio täysin määrätty, jolloin myös pinta-ala on mahdollista laskea.

Eiköhän tämän kolmion pinta-alan laskeminen kuitenkin onnistu helpoimmin siten, että täydennät sen koordinaattiakseleiden suuntaiseksi suorakulmioksi ja vähennät sen pinta-alasta sitten ylimääräisten osien (kolme suorakulmaista kolmiota) pinta-alat.
Merkitään kahta sivua (3-ulotteisilla) vektoreilla. Tällöin vektoreiden ristitulon itseisarvo vastaa niiden rajaamaan suunnikkaan pinta-alaa, mistä puolet on kysytyn kolmion pinta-ala:

AB = (-3+1)i+(0-2)j+(0+0)k = 4i-2j+0k
AC = (-3+5)i+(0+2)j+(0+0)k = 8i+2j+0k

| AB X AC | = | 0i+0j+(4*2-(-2*8))k | = | 0i+0j+24k | = 24, joten kolmion pinta-ala on 12.
Korjataan nyt tuo virhe noiden sivuja kuvaavien vektorien osalta (laskin ne päässä oikein ja kirjoitin välivaiheen sitten väärin). Oikein on siis:

AB = (1-(-3))i+(-2-0)j+(0+0)k = 4i-2j+0k
AC = (5-(-3))i+(2-0)j+(0+0)k = 8i+2j+0k
Ahaa...no nyt jotenkin ehkä sain jotain älliä tuohon koko hommaan..Olin ihan siinä uskossa että tuollaisen kolmion alaa ei voisi laskea jos ei tiedä mitään sivujen
pituuksia. Yritänpäs ratkaista tuota tehtävää jotenkin,en vain ole kovin hyvä matskussa..mutta yritän :)
Sivujen pituudethan ovat vain laskemista vailla:

http://www.mathwarehouse.com/algebra/distance_formula/index.php
Kommentoidaanpa jotakin, kun alan gurukin on ekaksi vastannut... :)
Ongelma koululaskuissa on joskus, kun ei aina arvaa minkä luokan tai kurssin laskuista on kysymys. Tarkoitus on, että lasku tehtäisiin suunnilleen sillä tavalla, kuin mitä oppikirjan teoriassa sillä hetkellä kerrotaan. Pahimmillaan tilanne voi olla, että kysyjä ei ymmärrä vastauksista höykäsen pöläystä, jos "sellaisia asioita ei ole vielä ollut" (kuten tässä vektorien käytöstä tai determinanteista). Tuskin lienee tässä kysymys trigonometrian kurssistakaan. Siten eka vastaaja lienee tässä eniten jäljillä.

Sitten voi lasku sattuman kautta olla sellainen (kuten tässä), että kun hoksaa niin lasku muuttuu miltei päässälaskuksi. Eli sattuu niin, että yksi kolmion kärki on koordinaattiakselilla, joka jakaa kolmion kahteen (ylä- ja alapuoliseen) osaan, joiden kannat ja korkeudet 'näkee' miltei suoraan (jana BC leikkaa x-akselin kohdassa (3,0)). Kysytyn kolmion ala on näiden kahden summa, siis 6+6 eli 12. (Janan BC yhtälö pitää laskea ja siihen asetetaan x-leikkauspisteessä y:ksi nolla, josta x=3 eli siitä tulee tuo (3,0)).

Edellä esitetty vain siksi, että opettaja joutuu jonkin verran miettimään akselia kertakäyttöisyys/kekseliäisyys vs 'puhdasoppisuus', koska yleiseksi ratkaisutavaksihan (muilla lukuavoilla) tuosta ei ole (toisin kuin eka vastaajan ehdotus). Toisaalta jos oppilas tuollain keksii, kai siitä täydet pisteet annettava on, koska ei siinä mitään väärääkään ole .) Niin tai näin, sen jälkeen kun asian sisäistää, muodollinen tapa miten niitä tekee, alkaa menettää merkitystään, näin ajattelisin, miten lienee opettajan näkökulmasta laita... ?
Kulkisipa muidenkin vastaajien ajatusmaailma samoja raiteita, saattaisi jokunen kysyjäkin ymmärtää ja jopa kiinnostua asioista.

Varmin tapa tietoa kysyvän lopulliseen karkoitukseen asian tiimoilta on paiskata läjä PDF-linkkejä tai osoittaa omaa taitoaan vektorien kanssa, joista taatusti kysyjä ei ymmärrä eikä hyödy mitään.

Olen em. kirjoittajan kanssa täysin samaa mieltä että jos neuvoja annetaan, niiden taso olisi oltava samaa kuin kysyjän kompastuksen taso, muuten jää vaikutelmaksi vastauksen täyttävän muita tarkoituksia.

No hyvä että edes joku on ymmärtänyt.
Sinä et taas ole ymmärtänyt oppilaiden valtasosan oppimistavoitetta matematiikassa: löytää MAOL:ista oikea kaava ja osata näppäilllä graafiseen laskimeen oikeat arvot.

Kyseinen tehtävä olisi kenen tahansa perusgeometrian alkeet osaavan ratkaistavissa, kun ensin viitsii piirtää tilanteesta kuvan. Mutta sellaiseenhan menee turhaa aikaa.
on niin pihalla kuin voi vain olla. Noin voit menetellä sitten kun (toivottavasti osaavana) insinöörinä tai vastaavana lasket jotain konkreettista asiaa, etkä ole enää opettelemasa matematiikan luonnetta ja perusasioita.
Itse asiassa tuolla asenteella on Sulla vaara vastuuasemassakin, että lasket vahingossa mitä sattuu, jolloin huonolla tuurilla voit aiheuttaa vahinkoja, ja vielä huonommalla tuurilla vielä itsellesikin....
Koska vastaustani näin kovasti kritisoidaan, puolustan itseäni. Aloittajan viestin kysymys oli:

"joten miten tällainen voidaan laskea, jos ei tiedetä oikeastaan mitään... Pitääkö ensin selvittää sivujen pituuksia tai määrittää kulmien suuruuksia ? "

Vastasin tähän kysymykseen esittämällä yhden mahdollisen ja hyvin suoraviivaisen tavan ratkaista kyseinen tehtävä laskematta erikseen sivujen pituuksia tai kulmien suuruuksia. Edellinen vastaajahan oli jo esittänyt toisen mahdollisen tavan. Olen aina kuvitellut, että yksi tällaisen foorumin tarkoituksista on nimenomaan se, että yhden ratkaisun sijaan täällä voidaan tuoda esille ja pohtia vaihtoehtoisia ratkaisutapoja. Ehkä olen väärässä?

Yksi vastaukseni pointeista, tai ehkäpä se tärkein pointti, oli se, että vektorien ristitulon geometrinen merkitys on suunnikkaan pinta-ala. En voi mistään tietää millä tasolla ap matematiikkaa opiskelee tai mille tasolle hän joskus sitä tulee opiskelemaan, mutta jos vektorit ja ristitulo joskus tulevat eteen, on tuo geometrinen merkitys hyvä ymmärtää. Ihan jo senkin takia, että jos ja kun sen ymmärtää, voi sitä käyttää hyväkseen tällaisten tehtävien ratkaisuun.

Jos ap vain etsi valmista kaavaa minkä mukaan näpelöisi laskintaan (kuten tuossa edellä arveltiin), vastaukseni varmaankin meni ohi. Jos näin on, ehkä siitä on iloa jollekin muulle, joka näitä sattuu lukemaan.
Selityksesi ontuu tai et jostain syystä halua ymmärtää, tai joku muu syy puolustella tarpeetonta vastaustasi.

Muitakin vaikeita tapoja pinta-alan laskemiseen löytyy, kuten johtamalla sivuille yhtälöt ja integroimalla , mutta normaalin ajatteiun uskoisi jo toteavan että vektori-tai integraalilaskennan hallitsevan ei yleensä tarvitse kysyä tällaista asiaa.

Suorastaan puistattavalta tuntuu myös esitetty ajatus että matematiikan opetuksen tarkoitus olisi vain neuvoa kuinka MAOL.sta löydetään oikeat kaavat näppäiltäväksi laskimeen

Tämä oli se ydin ja sisältö, johon nimim." Tiletantti" ansiokkaasti puuttui.
Vaikea tapa?

Sivuvektoreiden muodostamiseen tarvitaan neljä vähennyslaskutoimitusta, ristitulon laskemiseen kaksi kertolaskua ja yksi vähennyslasku (koska kolmio on xy-tasolla ja nollalla kertomisista ei tarvitse välittää). Tulovektorin pituuden selvittämiseen ei tarvita laskutuloksia lainkaan (koska kolmio on edelleen xy-tasolla, ja tulovektori on z-akselin suuntainen). Lopputulos jaetaan kahdella, siis yksi jakolasku lisää.

Kerrotko millä helpolla tavalla tuon voi laskea käyttämällä vähemmän kuin noista tulevat yhteensä kahdeksan yksinkertaista peruslaskutoimistusta?
"Suorastaan puistattavalta tuntuu myös esitetty ajatus että matematiikan opetuksen tarkoitus olisi vain neuvoa kuinka MAOL.sta löydetään oikeat kaavat näppäiltäväksi laskimeen."

Ei se varmaan ole matematiikan opetuksen tarkoitus, mutta monen oppilaan oppimistavoite se sen sijaan on. Menettelyllä pääsee peruskoulun ja lukion matematiikan kursseista läpi, ja hyvällä tuurilla kohtuullisiin arvosanoihinkin.

Minulla on asiasta omakohtaista kokemusta, sillä samaa menettelyä yritetään soveltaa myös ylemmän asteen opinnoissa. Siellä menettely valitettavasti vain erittäin harvoin toimii, mutta siitä huolimatta sitä yritetään soveltaa.
tässä nyt oli tarkotuksena saada jonkinlainen selvyys siihen että miten tuon tehtävän nyt saa ratkaistua järkevällä tavalla...

Eli tehtävä on ihan yksinnkertainen, mutta koska en ollut varma,että miten lasketaan kun kyse on mielivaltaisesta kolmiosta..ja siihen on tietääkseni
omat laskentatapansa...

Laske pisteiden (-3, 0), (1, -2) ja (5, 2) kautta piirretyn kolmion ala.

Kun nuo piirtää koordinaatistoon niin niistä tule siis mielivaltainen kolmio.
joten millä tavalla tuon voisi ratkaista....
Siis sinulle ei kelvannut se kaikkein yksinkertaisin keino: Piirrä pisteet koordinaatistoon ja ympärille koordinaattiakseleiden suuntainen suorakaide. Laske suorakaiteen ala ja vähennä siitä ympäröivien suorakulmaisten kolmioiden alat, jolloin jäljelle jää kysytyn kolmion ala.
Ympäri piirretyn suorakaiteen leveys 5-(-3)=8, korkeus 2-(-2)=4, ala=8*4=32.
Vähennettävät kolmiot:
1) (5-(-3))*(2-0) jaettuna kahdella eli 16/2=8,
2) (1-(-3))*(0-(-2)) jaettuna 2:lla on 8/2=4.
3) (5-1)*(2-(-2)) jaettuna 2:lla on 16/2=8.
Jäljelle jäävän epäsäännöllisen kolmion ala: 32- (8+4+8)=12.

Piirrä tästä vielä itsellesi kuvio.
matematiikassa on oikeastaan aika tavanomaistakin (kun harjoitellaan ajatuskykyä ja älynkäyttöä), että saadakseen vastauksen johonkin, pitää ensin tehdä jotain muuta, ja vastaus "löytyy" sitten jotenkin. Edellä on laskettu ensin suorakaidetta ympäröivien kolmioiden pinta-alat.
Se on vähän sama kuin tekisit itse kirvesvartta: on puu, ja vuolemalla turhat päältä pois haettu varsi löytyy sitten sieltä sisältä.

Onhan se haasteellista tuommonen, erityisesti ekalla kerralla--- joskus voisi ajatella onko se sitten haasteellista enää ollenkaan toisen samanlaisen kohdalla kun se ratkee sitten samalla tavalla. Siihen vain pitää tottua, että koululainen on tällaisten tilanteitten edessä melkein aina eka kertaa.....
siis ei suorakaidetta ympäröivien, vaan sitä varsinaista kolmiota ympäröivien...
Näinkin tämä käy.

Monikulmion pinta-ala nurkkapisteiden koordinaateista
laskien.

Merkitään monikulmion nurkkapisteet myötöpäiväiseti
1...2...3...4........n-1 ja n.

Pinta-ala kaavalla

2 * A = x1*y2 + x2*y3 + .... + x(n-1)*y(n) + x(n)*y1- y1*x2 – y2*x3 ....
... y(n-1)*x(n) – y(n)*x1
Muistan hyvin kun eräällä kurssilla, cnc-ohjelmointi, piti laskea sorvin terän kulkemat pisteet. Opettaja antoi vaikean tehtävän jossa sorvattiin kaareva pinta ja hän antoi vain pari koordinaattia. Pähkäiltiin sitä pitkään kunnes yksi venäläinen nuori mies sanoi löytäneensä ratkaisun.

Opettaja ei itsekään ollut varma miten se lasketaan...

Kaveri meni taululle ja piirteli just nuo kuviot jotka olivat linkissä "Area of a triangle given its vertices". Opettajan ilmeestä näki ettei hän itsekään tiennyt vastausta.

Silloin opin jotain trigonometriasta. Kympin arvoinen temppu tältä venäläiseltä.

Joku kysyi aikaisemmin mihin matematiikkaa tarvitaan. Sitä tarvitaan esim. tuollaisiin laskuihin. Tosin nykyään nuo laskut tehdään tietokoneohjelmilla.

Moniko osaa nykyään laskea neliöjuuren kynällä ja paperilla? Heh, en itsekään sitä enää osaa, mutta joskus laskutikkuaikaan osasin...
Kuten nimim.Tiletantti on arvellut, alkup.kysyjä ei liene alkuosan vastauksista ymmärtänyt juurikaan, koska joutui kysymään uudestaan. Näin usein käy, kun lyhyen matikan alkutaipaleella olevalle tarjoillaan ns.insinöörimatikkaa.....

Muuten, olisiko jollain viitseliäisyyttä/osaamista tehdä seuraavaa:
olisi tehtävänä ohjelmoida vaikka laskimeen kolmion pinta-alan lasku, kun syötteenä on vain kärkipisteiden koordinaatit. Ratkaisuun ei saa käyttää mitään pitemmän matikan valmiita rakennuselementtejä (pistetulo, ristitulo, heronin kaava...) vaan rakentaa tiili tiileltä siten, että lähes kenen tahansa on mahdollisuus ymmärtää siirtyminen vaiheesta toiseen. Lisäksi laskun loppulausekkeen tulisi olla suunnilleen sellainen kuin vastaavan determinantin purku aiheuttaa. Jotain perustason pseudokoodia siis.

Tavoitteena on näyttää, mikä johtaa siihen, että siitä tulee sellainen lauseke kuin tulee, ja että sen jälkeen voi luottaa siihen, että kun laittaa robottimaisesti koordinaatit neliön muotoon ja purkaa sen edelleen robottimaisesti auki, niin tuo purku johtaa ilman sen suurempaa ymmärtämyksen tarvetta oikeaan lopputulokseen.
Tällaisia ajatuskulkuja joskus tarvittais rakentamaan siltaa lyhyemmän ja valmiita 'ohjelmoituja pakettiratkaisuja' käyttävän matematiikan välillä. Tällaisten ratkaisujen "helppouteen" nähdäkseni yllä nimimerkki Yksi vain vetoaa ja viittaa.
 /   /  /  / miten voidaan laskea epäsäännöllisen kolmion pinta-ala?

Asiantuntijat

  • SincityNaisille ja pariskunnille sunnattu intiimituotteiden erik...

Keskusteluhaku

Laaja haku



Lisää keskusteluja aiheesta

Tietoa mainosten kohdentamisesta