Sivellinprobleema

Nyt menee vähän arvaamallla ja ilman pidempää pohtimista. Olettaen m > n, suhde m/n on ratkaiseva. Rajoittuen tapauksiin 2 < n < m < 2n veikkaisin 4n-2 ruudussa tai jotain sinne päin.

>Lausekkeen on pakko riippua sekä m:stä että n:stä.

Nimenomaan, kuten yllä on esitetty. Suhde m/n on ratkaiseva. Saattaa olla että rajoitteessa 2 < n < m < 2n tuo kerroin 2 ei ole ihan tarkka. Kun m/n kasvaa sen yli, vastaus 4n-2 muuttuu, seuraavaksi ehkä 6n-4 :ksi.

Ylläoleva kirjoitus lienee provo, tai sitten kaverilla ei ole ymmärrystä matematiikan käsitteistä. Väite on jotain muuta kuin arvaamallla ja ilman pidempää pohtimista esitetty tulos.

Tämä ongelma ei alunperin kiinnostanut minua, mutta kai se jossain alitajunnassa on pyörinyt. Taidankin pohtia sitä hieman lisää.

Heti alkuun on myönnettävä, että tuo 4n-2 pitää paikkansa vain erityistapauksissa. Tuli näet eräs ajatusvirhe alkuun, se m/n suhde ei päde yleisesti.
Uskallan kuitenkin väittää, että on olemassa ruudukot kooltaan (n,m), (n,m 1) ja (n,m 2) joilla se pätee. Eli rivien lisääminen ei kasvata maalillisten yksikköneliöiden määrää.

Ounastelen lisäksi, että joissain tapauksissa rivin lisääminen jopa vähentää niitä. Vaikka siis lävistäjän pituus tällöin kasvaa.

Tapauksessa m=n (neliöruudukko) nähdään hyvin simppelisti että ratkaisu on 3*n-2. Joten ei tuo 4*n-2 pidä paikkansa.

Näin on.
Kaava riippuu suhteesta m/n.
Silloin kun suhde m/n on kokonaisluku, kaava on helppo keksiä:
m/n = 1 => 3n - 2
m/n = 2 => 4n - 2
m/n = 3 => 7n - 4
m/n = 4 => 10n - 6
m/n = 5 => 11n - 6
m/n = 6 => 14n - 8
j.n.e.

Myös silloin kun suhde m/n on puolikkaan kerrannainen, kaava on helpohko. Tässä tapauksessa n:n on oltava parillinen, koska muutoin m ei olisi kokonaisluku.
m/n = 1.5 => 4n - 2
m/n = 2.5 => 6n - 4
m/n = 3.5 => 8n - 4
m/n = 4.5 => 10n - 6
m/n = 5.5 => 12n - 6
m/n = 6.5 => 14n - 8
....
Seuraavassa n:n on oltava kolmella jaollinen
m/n = 4/3 => 4n - 2
m/n = 5/3 => 13n/3 - 2
m/n = 7/3 => 17n/3 - 4

Kokeilin analyyttisen geometrian avulla ratkaista tehtävää, kun kärkipisteet ovat (0,0), (0,n), (m,n), (m,0). Sain tuon siveltimen toiseksi rajaviivaksi yhtälön

y=n/m(x-1/(2*sqrt(1 (m/n)^2)))-m/(2nsqrt(1 m^2/n^2))

No, ei vaikuta ihan mukavalta summata tuollaista lauseketta. Vähän epäilen, että tehtävän kaava ei ole mitenkään nätti, mutta sen voi esittää summalausekkeena.

Tuolla on vinkki: http://math.stackexchange.com/questions/406008/how-many-squares-contains-paint

Eipä tuo vinkki "Hint: how many vertical and horizontal lines does the paintbrush cross? You need to think about the width of the brush. Draw a picture for a few small cases." tuo analyyttistä ratkaisua yhtään lähemmäksi. Numeerinen ratkaiseminen ei ole mikään ongelma.

>Mitä metodia käytät numeeriseen laskemiseen?

Yksinkertaisesti Excelissä ensin valitsen ne hilan pisteet, joiden etäisyys lävistäjästä on puolikasta pienempi, Näiden avulla määritän ne yksikköneliöt, joiden jokin nurkkapiste kuuluu tuohon pistejoukkoon. Tekninen toteutus yhdelle pisteelle menee. yhdellä Excelin rivillä ja tuloksena saadaan niiden tähän hilappisteeseen liittyvien yksikköneliöden numerot joihin tulee maalia. Aktiivisten rivien määrä on siis sama kuin hilapisteiden määrä. Viimeisellä sarakkeella lasketaan montako eri yksikköneliötä saatiin.

Hmm. Löysin kaavan, mutta en tiedä miten se todistetaan: https://oeis.org/A226246/internal

Hyvin bongattu. Woodsin ratkaisu on sikäli hieno, että se on analyyttinen ratkaisu, omani oli numeerinen algoritmi. Tosiaan tuon SYT-funktion avulla homma hoituu.