Olet tv-visassa, jossa on 3 ovea. 2 oven takana on lammas ja 1 urheiluauto.
Arvaat yhden oven, jonka jälkeen juontaja avaa kahdesta jäljelle jääneestä ovesta toisen, jonka takana on lammas.
Nyt sinulla on mahdollisuus vaihtaa ensimmäistä arvaustasi kahdesta kiinni olevasta ovesta.
Kannattaako ovea vaihtaa, vai pitää samana?
Arvaat yhden oven, jonka jälkeen juontaja avaa kahdesta jäljelle jääneestä ovesta toisen, jonka takana on lammas.
Nyt sinulla on mahdollisuus vaihtaa ensimmäistä arvaustasi kahdesta kiinni olevasta ovesta.
Kannattaako ovea vaihtaa, vai pitää samana?
Vastaukset 79
Vanhimmat
Sanoisin notta todennäköisyyden suhteen ihan sama pitääkö samana vai vaihtaako...
Jos on menossa ulos sieltä studiosta ,niin kannattaa mennä siitä avoimesta.
vähempi sattuu, jos jää lampaan alle kuin urheiluauton alle...
Jos juontaja on arvaamalla avannut oven, joka sisältää lampaan, on samantekevää vaihtaako vai ei (auton voittamiseen todennäköisyys 1/2).
Jos juontaja tietää minkä oven takana auto on ja sen perusteella avannut lampaan sisältämän oven, kannattaa ehdottomasti vaihtaa, sillä tällöin auton voittaa todennäköisyydellä 2/3. Jos ei vaihda, on todennäköisyys voittaa auto vain 1/3.
Vaikuttaa oudolta ensi ajatuksella, mutta ei siinä loppujen lopuksi mitään erikoista ole. Aihetta käsitelty viime päivinä melko intensiivisesti täällä: http://www.tiede.fi/keskustelut/viewtopic.php?t=1440 (vaikka keskustelu alkoikin jo 1½ vuotta sitten)
itse ongelma tunnetaan Monty Hallin ongelmana. Eli ihan perinteinen ja jokseenkin kuuluisa "probleema" tämä on. Siitä voi lukea esim. täällä:
http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem
Toki voi olla mieluista ratkaista ongelma ihan itse.
Että tämmöistä.
Juontaja voi myös pyrkiä johtamaan kilpailijaa harhaan. Todennäköisyydellä 2/3 kilpailijan ensimmäinen valinta on väärin. Tässä tapauksessa juontaja ei anna mahdollisuutta vaihtaa ovea. Jos kilpailija sen sijaan valitsee oikean oven, juontaja avaa toisen lampaan sisältävistä ovista ja kysyy kilpailijan halukkuutta ovenvaihtoon. Kysymys siis esitetään vain silloin kun ensimmäinen valinta on oikein ja tällöin vaihtamalla menettää palkinnon varmasti.
Ei ole merkitystä sillä mitä juontaja ennen avaamista tietää. Kysymyksen mukaan juontaja avasi oven jonka takana oli lammas.
Kuten sanoin, jos juontaja arvaa oven ja sattumalta arvaa lampaan sisältävän oven on todennäköisyys vaihtamalla voittaa auto 1/2.
Jos juontaja tietää auton paikan ja siis aina avaa oven jonka takana on lammas, on todennäköisyys voittaa auto vaihtamalla 2/3.
Ovatko siis sinun mielestäsi 50% ja 66% todennäköisyydet samat!? Ainakin minä valitsisin vaihtoehdon joka on kannattava 66%:n todennäköisyydellä. Ja nuo todennäköisyydet eivät ole mitään minun mielipiteitäni, vaan ne ovat todennäköisyyslaskennan mukaiset totuudet.
Tällainen käytäntö paljastuisi hyvin nopeasti. Jokainen huomaisi, että vaihtoa tarjotaan vain, jos se on pelaajalle epäedullinen, joten kukaan ei tarttuisi täkyyn. Jos pelissä toimitaan mekaanisesti näin, peli ei todellakaan ole kovin mielenkiintoinen.
Otin tämän vaihtoehdon esille lähinnä siinä mielessä, että jos olisi vain kaksi ensin mainittua vaihtoehtoa eikä tiedettäisi kumpi niistä olisi kyseessä, kannattaisi vaihto aina, koska vaihtamalla ei voiton todennäköisyys ainakaan pienenisi. Harhaanjohtamisen mahdollisuudesta johtuen ei näin välttämättä ole.
Harhaanjohtamistaktiikalla kilpailijan voiton todennäköisyys olisi enintään 1/3 ja käytännössä pienempi, koska ei ole varma, että kilpailija kieltäytyy vaihdosta. Yksittäisen/ensimmäisen kilpailun kohdalla vaihdon todennäköisyys voisi olla melko suurikin. Juontajalla on myös mahdollisuus tuottaa yleisölle lisää hupia vaihtamalla välillä taktiikkaa, jopa niin, että vaihtoa tarjotaan vain silloin kun ensimmäinen valinta on väärä.
Tarkoitan samantekeväisyydellä sitä, että on täysin samantekevää annetun tehtävän kannalta tietääkö vai arvaako juontaja avata sen oven jonka takana on lammas.
Ei myöskään ole kilpailijan kannalta mitään eroa sille avaako juontaja sattumalta vai tieten sen oven jonka takana on lammas. Kilpailijan kannattaa juontajan oven aukaisun jälkeen aina vaihtaa ovea jolloin todennäköisyytensä saada auto paranee 1/3 sta 2&3:een
Todennäköisyyttä 1/2 ei tässä pelissä edes ole.
Sehän tässä ehkä eniten sotii maalaisjärkeä vastaan (ensi ajatuksella) on, että todennäköisyys nimenomaan riippuu siitä mitä juontaja tietää, eikä siitä minkä oven juontaja tietoisesti tai tiedostamatta valitsee. Eli vaikka kummassakin tapauksessa juontaja avaisi saman oven (ja tilanne muutenkin samanlainen), olisi arvaavan juontajan tapauksessa todennäköisyys 1/2 ja tietävän juontajan tapauksessa 2/3 saada auto vaihtamalla. Eikö olekin aika merkillistä!? Ajattelin itsekin ensin juuri kuten sinäkin, että sillä ei ole merkitystä. Mutta sillä on!
Tässä yksi löytämäni sivu joka käsittelee aihetta "modified Monty Hall" (ei ehkä paras mahdollinen
, mutta ensimmäinen joka sattui silmään):
http://www.aggressivesoftware.com/misc/montyhall/
(kts. "Modified problem")
siellä on koodattu javalla kyseiset kaksi tapausta (joissa juontaja tietää ja juontaja ei tiedä auton paikkaa). Tuloksista näet että todennäköisyydet lähestyvät 2/3 ja 1/2. Myös vos Savant vastasi jatkokysymykseen että vaihto ei kannata jos juontaja arvaa, ja hän oli siinäkin oikeassa.
Tutki aihetta ja huomaat, että näin ne asiat ovat.
On ehdottoman varmaa ja selvää, että kyseisessä probleemassa ei ole mitään merkitystä sillä mitä juontaja tietää tai ei.
Jos juontaja ei tiedä, niin silloin tällöin hän avaa oven jonka takana on auto. KOKO PROBLEEMAA EI OLE TÄLLÖIN OLEMASSA, VAAN SE KUIVUI KASAAN.
Mutta aina kun kilpailijalle tarjotaan vaihtomahdollisuus juontajan avattua tyhjän oven kannattaa hänen vaihtaa 2/3 todennäköisyydellä.
Juontajan tiedolla on jatkuvissa kilpailutapahtumissa se merkitys, että hän
1. Avaa aina toisen oven. (Jos tietäisi ja voisi päättää avatako vai ei, niin voimaan tulisi tuossa aiemmin esille tuotu KOLMAS VAIHTORHTO)
2. Toki juontajan on syytä aina avata tyhjä ovi, sillä koko arvausleikki jäisi muutoin toteutumatta.
Mutta alkuperäiskysymykseemme:
Jos arvaat yhden kolmesta jonka jälkeen juontaja avaa tyhjän ja saat vaihtaa, niin sinun kannattaa aina vaihtaa 2/3 todennäköisyydellä. Juontajan tiedot tai mikään muukaan juontajan päässä liikkuva ei tätä vaihtotodennäköisyyttäsi muuta.
P.S. Se edellä usein mainittu 1/2 todennäköisyys ei tässä probleemassa voi lainkaan esiintyä.
Luitko olllenkaan tarjoamaani linkkiä? Ilmeisesti et.
Niinpä minun täytyy ilmeisesti itse selittää. Eli jos juontaja tietää missä auto on, on todennäköisyys voittaa auto vaihtamalla 2/3, siitä olemme koko ajan olleet samaa mieltä. Mutta nyt käsittelen tilannetta, jossa juontaja on arvannut oven ja sattumalta sieltä paljastuu vuohi. Kysymys kuuluu: Kannattaako nyt vaihtaa?
On selvää, että:
-kilpailijan mahdollisuus valita ensin lammasovi = 2/3
-kilpailijan mahdollisuus valita ensin auto-ovi = 1/3
-juontajan mahdollisuus valita lammasovi = 2/3
-juontajan mahdollisuus valita auto-ovi = 1/3
Jos tapauksia on 30, on edellisten tapausten lukumäärät noin:
-kilpailija valinnut ensin lammasoven: 20 kertaa
-kilpailija valinnut ensin auto-oven: 10 kertaa
-juontaja valinnut lammasoven 20 kertaa
-juontaja valinnut auto-oven: 10 kertaa
(huomaa, että tapaukset ovat päällekkäisiä, siksi niiden summa ei ole 30, vaan 2*30 sillä jokaiseen tapaukseen liitty sekä kilpailijan että juontajan osatapaukset)
Vielä ei siis otettu kantaa vaihtamiseen, vaan vain siihen minkä oven kilpailija ensin valitsee (hän ei itse sitä tietenkään avaamatta tiedä). Kyseisistä 30 tapauksesta siis 10 kertaa kuivuu kokoon, sillä juontaja avaa erehdyksissä auto-oven. Tietenkin nämä tapaukset ovat niitä joissa kilpailija on valinnut vuohi oven, sillä autojahan on vain yksi.
Jäljelle jää siis 20 tapausta, joissa juontaja on valinnut vuohen. Myös ongelma, jota nyt käsittelen on yksi näistä tapauksista. Huomaa, että samat 10 tapausta vähennetään myös niistä tapauksista joissa kilpailija on valinnut ensin lampaan (sillä jos juontaja valitsee auton, on kilpailija valinnut lampaan). Jäljelle jääs siis tapaukset (ja niiden lukumäärät):
-kilpailija valinnut ensin lammasoven: 10 kertaa
-kilpailija valinnut ensin auto-oven: 10 kertaa
-juontaja valinnut lammasoven 20 kertaa (nämä ovat siis ne tapaukset joita tarkastellaan: 10 10 = 20)
Nyt nähdään että puolet tapauksista ovat niitä, joissa ensin valitun oven takana on auto. Niinpä todennäköisyys voittaa auto vaihtamalla on tasan 1/2. Eli todennäköisyys 1/2 todellakin esiintyy tässä lammas-auto ongelmassa. (Mutta vielä täsmennän, jos joku vain silmäillyt tähän asti, että alkuperäisen ongelman tapauksessa (jossa oletetaan juontajan tietävän auton paikan) vaihto kannattaa todennäköisyydellä 2/3)
Oletko vieläkin erimieltä? Mielestäni tarjosin niin yksinkertaisen selityksen, että siitä ei voi olla tajuamatta. Mutta eihän sitä koskaan tiedä.
Erilainen käsityksemme taitaa johtua siitä, että käsitämme tehtävän eri tavoin.
Sinä tunnut käsittelevän asiaa tehtäväsarjana, eli esim 30 kpl kuten esimerkissäsi.
Minä puolestani käsittelen yksittäistapauksina olipa näitä tapauksia sitten yksi tai 30 jolloin;
1 tai 30 esitetyn tehtävän mukaista tapausta.
-Kilpailijan mahdollisuus valita ensin auto 1/3
-Kilpailijan mahdollisuus valita ensin lammas 2/3
-Juontaja valitsee aina lampaan todennäköisyydellä 1/1.
On täysin samantekevää millä tavoin juontaja päätyi avaamaan lammasoven. Tiesikö, arvasiko, saiko tiedon korkeammalta taholta, hallitsiko parapsykoloogisia avuja tms. On tehtävän mukainen fakta, että Juontaja avasi oven jonka takana oli lammas, Tapaukset joissa juontaja olisi valinnut auton eivät kuulu annetun tehtävän piiriin. Ne ovat eri maailmasta. Jos juontaja olisi valinnut auton, niin koko esitettyä tehtävää ei olisi olemassa.
Mahdatko todeta ajatuskulkumme eron ?
...ajatuskulkumme eron, mutta olet silti väärässä.
Ensinnäkin, jos juontaja valitsee aina lampaan (todennäköisyys 1), ei juontaja ole arvannut, vaan hän tietää lampaan paikan. Tämä on siis alkuperäinen tilanne, jossa todennäköisyys todellakin on 2/3 voittaa auto kun vaihtaa.
Nyt kuitenkin on käsittelyssä tilanne, jossa juontaja arvaa, ja jos juontaja arvaa, on väistämättä mahdollisia myös ne tapaukset, joissa juontaja arvaa auton (sillä muutenhan juontaja ei ole arvannut). Huomioi, että kun tässä tapauksessa ollaan tilanteessa, jossa juontaja on avannut oven josta paljastuu lammas, on jo valintatilanteessa toteutunut 2/3 todennäköisyys.
Ja lopuksi vielä todennäköisyydestä. Todennäköisyyshän nimenomaan liittyy toistoihin. Eli todennäköisyys on ennuste kuinka monta tiettyä tapausta saavutetaan tietyllä määrällä toistoja.
Jos 20 eri kerrasta (joissa juontaja avannut lampaan), kilpailija voittaa auton 10 kertaa vaihtamalla ja 10 kertaa vaihtamatta, on todennäköisyys voittaa auto vaihtamalla 10/20 = 1/2. Tätä et voi kiistää. Ja juuri tähän tulokseen päädyin edellisessä viestissäni.
Tuo todennäköisyys on tietysti sama riippumatta kuinka montaa tapausta tarkastellaan (esim. 1, 30, 3000 tai 93568728654). Jos siis juontaja arvaa, on samantekevää vaihtaako vai ei (vaikka pääsisi vain kerran osallistumaan kyseiseen peliin).
Jos juontaja ei tiedä, minkä oven takana palkinto on, ja pelaaja veikkaa A:ta, on seuraavat vaihtoehdot arvausta vaihtamatta/vaihtaen:
A oikein:
Juontaja avaa B:n - oikein/väärin
Juontaja avaa C:n - oikein/väärin
B oikein:
Juontaja avaa B:n - väärin/väärin
Juontaja avaa C:n - väärin/oikein
C oikein:
Juontaja avaa B:n - väärin/oikein
Juontaja avaa C:n - väärin/väärin
Kun juontaja ei tiedä, missä luukussa palkinto on, pelaajan voiton todennäköisyys on 1/3, käytti hän vaihtostrategiaa tai ei.
Esimerkissä juontaja on avannut lammasoven. Näyttäisi olevan seuraavat mahdollisuudet, kun pelaaja veikkaa A:ta ja ei vaihda/vaihtaa:
A oikein:
Juontaja avasi B:n - oikein/väärin
Juontaja avasi C:n - oikein/väärin
B oikein:
Juontaja avasi C:n - väärin/oikein
C oikein:
Juontaja avasi B:n - väärin/oikein
Tämän mukaan voiton todennäköisyys olisi 1/2, mutta näin ei kuitenkaan ole.
Esimerkissä sanotaan, että juontaja avaa lammasluukun, joten pelaaja saa etua. Juontaja avaa arvaamalla autoluukun keskimäärin kerran kolmesta, mutta jos hän arvaa väärin, pelaajan kannalta ei ole väliä sillä, tietääkö juontaja, mitä ovien takana on. Kun pelaaja näkee avatun oven takana lampaan, hänen kannattaa vaihtaa, sillä voiton todennäköisyys on 2/3. Olemme variaatiossa, jossa juontaja avaa AINA sen luukun, jossa palkintoa ei ole. :)
>>" Olemme variaatiossa, jossa juontaja avaa AINA sen luukun, jossa palkintoa ei ole. :) "
Tuo on virheellinen päätelmä. Jos juontaja avaa AINA sen luukun, jossa palkintoa ei ole niin silloin juontaja tietää missä palkinto on. Arvaaminen tarkoittaa sitä, että juontajan on myös mahdollisuus valita luukku jossa on auto.
Aiemmassa viestissäni, jossa asian selvitin päädyin tulokseen, että 20:stä kerrasta jolloin juontaja arvasi lampaan, lammas oli ensin valitun oven takana 10:ssä tapauksessa ja auto toisessa 10:ssä tapauksessa. Siinä päätelmässä ei ollut mitään virheellistä. Tästä osaa ala-astelainenkin laskea, että todennäköisyys voittaa auto vaihtamalla tai vaihtamatta on 1/2.
Sitä paitsi turhaan vaivaatte päätänne itse tuloksella, sillä tämä asia on jo ratkaistu (ei minun toimesta). Tulokset ovat mainitsemiani, mutta kiinnostavaa on se miksi niin on. Minä olen asian jo sisäistänyt, vaikka siihen menikin oma aikansa. Ymmärrän kyllä miksi olette toista mieltä, sillä oli aivan vastaavasti itsekin aikoinani.
Katsokaa esim. vielä aimmassa viestissäni olevani linkki jossa oli koodattu javalla kyseiset ongelmat. Tuloksista näet, että jos juontaja tietää auton paikan, vaihtaminen kannattaa 2/3 todennäköisyydellä. Jos juontaja ei tiedä, vaihtaminen kannattaa 1/2 todennäköisyydellä (ja 1/3 kaikista tapauksista on hylättyjä, sillä niissä juontaja avannut auton sisältävän oven)
Tässä vielä se linkki:
http://www.aggressivesoftware.com/misc/montyhall/
3 ovea joista yhden takana auto ja kahden muun takana lammas. Pyrkimyksesi on saada auto:
-olet arvannut oven
-juontaja on avannut oven jonka takana on lammas
Kysymys: Kannattako sinun vaihtaa arvaustasi ?
Vastaus: Kannattaa, sillä silloin voiton todennäköisyytesi kasvaa 1/3:sta 2/3:een !
Ilmeisesti olemme yhtä mieltä tahan saakka.
Väittelymme alkaa tästä tilanteesta, kun
- Väitän, että ei ole paskankaan väliä miten tilanteeseen on tultu. Kannattaa vaihtaa kun juontajan avaaman oven takana on lammas, jolloin voittoni tod.näk. nousee 1/3 -> 2/3
- Sinä väität, että tilanteessa on kaksi vaihtoehtoa:
--- Jos juontaja avasi oven tietäen, että sen takana on lammas, niin sinun kannattaa vaihtaa arvaustasi jolloin voittosi tod, näk. nousee 1/3 -> 2/3
--- Jos hän taas avasi oven tietämättä mitä sen takana oli ja siellä sattui olemaan lammas, niin on samantekevää vaihdatko vai et. Tod.näköisyytesi on nyt muuttunut 1/2:een.
P.S. Jos kyse olisi vaikkapa TV-ohjelman arvauskilpailusta, niin on todennäköistä, että juontajalla on tieto missä on auto ja missä lampaat. Muutoinhan joka kolmas ohjelmakerta lässähtäisi siihen juontajan avattua auto-oven.
MUTTA: Tällöinkin sinun kannattaisi vaihtaa jos osallistut sellaiseen ohjelmaan jossa juontajan avaaman oven takana on lammas, 1/3 -> 2/3
1/2 Voittotodennäköisyyttä ei tässä tehtävän asettelussa voi esiintyä
Antamasi linkki ei edellistä muuta.
Kerron hieman alusta samaa tarinaa josta jo aiemmin mainitsin. Tarkastellaan 30:tä eri jaksoa. Juontaja on huonomuistinen ja joutuu siksi arvaamaan. Koska juontajalla on arvaamalla 1/3:n todennäköisyys avata vahingossa auto-ovi, on kyseisistä 30:stä jaksosta 10 sellaisia, jotka ovat menneet pieleen kun juontaja arvaamalla avasi auton sisältävän oven.
Eli
- Tarkastelussa 20 jaksoa, joissa juontaja avannut lammasoven (10 pieleen mennyttä jaksoa poistettu 30:stä)
- Lammas on kilpailijan ensin valitseman oven takana 2/3*30 - 10 = 10 kertaa (koska 10 pieleen mennyttä jaksoa poistettiin 30:stä, joissa juontaja avasi auto-oven, jolloin tietysti kilpailija valitsi ensin lammasoven)
- Auto on kilpailijan ensin valitseman oven takana 1/3*30 = 10 kertaa (koska jos auto ensin valitun oven takana, niin juontaja avaa väkisinkin lammasoven, eli yhtään tälläistä tapausta ei poistettu)
Koska 10:ssä tapauksessa 20:stä on auto ensin valitun takana, ja lopuissa 10:ssä ei, on samantekevää vaihtaako vai ei. Oletetaan että jokaisessa tarkasteltavana olevassa 20:ssä jaksossa on eri kilpailijat. Oletetaan että jokainen heistä vaihtaa ovea. Niinpä (noin) 10 voittaa auton ja 10 voittaa lampaan. Eli jokaisella kilpailijalla oli 1/2 mahdollisuus voittaa auto kun he vaihtoivat ovea. Tämähän on selvä kuin mikä.
Olemmeko vai emmekö me ole tästä samaa mieltä? Näin se jokatapauksessa on. Kirjoita toki mistä tarkalleen olet eri mieltä.
>>"Sinä väität, että tilanteessa on kaksi vaihtoehtoa:
--- Jos juontaja avasi oven tietäen, että sen takana on lammas, niin sinun kannattaa vaihtaa arvaustasi jolloin voittosi tod, näk. nousee 1/3 -> 2/3
--- Jos hän taas avasi oven tietämättä mitä sen takana oli ja siellä sattui olemaan lammas, niin on samantekevää vaihdatko vai et. Tod.näköisyytesi on nyt muuttunut 1/2:een."
Olemme variaatiossa, jossa juontaja avaa aina sen luukun, jossa palkintoa ei ole. :)
Kopioin tekstiä tuolta sivulta, jolle annoit linkin:
"Hence in the millions of times that the game is played, 1/3 of the games end with Monty Hall accidentally revealing the car. In the remaining 2/3 of the games played there is a 50% probability that the (StayStrategy) wins, and a 50% probability that the (SwapStrategy) wins. That is to say that 1/3 of all games end with Monty Hall accidentally revealing the car, 1/3 of all games end with your original pick hiding the car, and 1/3 of all games end with the remaining door (picked by neither you nor Monty) hiding the car."
Tämä ei ole totta. Kun Monty avaa oven, jonka takana ei ole palkintoa, pelaajan voiton todennäköisyys on 2/3, jos hän vaihtaa arvaustaan. Olemme todella siinä variaatiossa, että kun pelaaja on veikannut vaikka A:ta, ei-A:n todennäköisyys on 2/3. Kun juontajan avaamassa luukussa ei ole palkintoa, ei-A:n todennäköisyys on edelleen 2/3, ja A:n 1/3. Jos juontaja avasi B:n, pelaajan kannattaa vaihtaa C:hen ja jos juontaja avasi C:n, pelaajan kannattaa vaihtaa B:hen.
Tuo englanninkielisen tekstin kirjoittaja on oikeassa siinä, että jos juontaja avaa summassa luukun, pelaajan voiton tn. on 1/3. Tämän ketjun esimerkissä kuitenkin sanotaan, että juontaja avaa lammasoven. On aivan sama, avaako hän sen tietämällä vai arvaamalla.
Mielestäni se aiheuttaa sinulla sekaannuksen, että toisaalta puhut juontajan arvaamisesta, mutta toisaalta esimerkissä hänen täytyy avata lammasovi. Oletetaan, että pelaaja veikkaa A:ta ja se on väärin. Nyt juontajan pitäisi voida avata kumpi tahansa, B tai C, mutta hän ei voi! Jos palkinto on B:ssä, hänen on avattava C, koska sanottiin, että hän avaa lammasoven. Jos palkinto on C:ssä, hänen on avattava B. Voit sanoa häntä tietäjäksi tai 0-prosenttiseksi arvaajaksi, mutta hän ei voi avata autoluukkua, koska lampaaseen osuminen sitoo häntä. Silloin kun hänellä ei ole mahdollisuutta avata autoluukkua, hän antaa väkisin pelaajalle 2/3-voitonmahdollsuuden, koska hän poistaa pelaajalta yhden väärän vaihtoehdon.
Sinulle aiheuttaa sekaannuksen se minkä luulet aiheuttavan minulle sekaannuksen:
>>"Mielestäni se aiheuttaa sinulla sekaannuksen, että toisaalta puhut juontajan arvaamisesta, mutta toisaalta esimerkissä hänen täytyy avata lammasovi."
Myönnän sen, että juontajan arvauskoetta toistettaessa poistot koskevat vain niitä tapauksia, joissa pelaaja on arvannut väärin. Jos pelaaja on veikannut A:ta ja B on oikein, juontaja valitsisi C:n, jos hän tietäisi, missä palkinto on. Kun hän ei tiedä, hän voi valita B:n ja paljastaa palkinnon. Tästä ei kuitenkaan ole tässä esimerkissä kyse.
En ole koskaan ohjelmoinut Javalla, joten en yrittänyt paneutua ohjelman yksityiskohtiin, mutta uskoakseni ymmärrän sen perusrakenteen, joka ei ole kovin monimutkainen. Riittää, kun totean, että ohjelma ei sellaisenaan sovellu tämän ketjun tapaukseen. Jotta ohjelma vastaisi tämän ketjun esimerkkiä, joka kerran, kun juontaja paljastaisi palkinnon, ohjelmassa täytyisi olla BASIC-kielen GOTO-käskyä muistuttava palautus, joka laittaisi juontajan arvaamaan uudelleen. Esimerkissä sanottiin, että juontaja arvaa lampaan, ei autoa. Mitään autoarvausta ei ole olemassakaan. Jos tehdään 10 000 000 toistoa, niistä ei voi jättää yhtäkään huomioitta, vaan jokaisen toiston on oltava sellainen, että juontaja arvaa lampaan, aina vain lampaan. Olemme alkuperäisessä Monty Hall -ongelmassa. :)
>>"Esimerkissä sanottiin, että juontaja arvaa lampaan, ei autoa. Mitään autoarvausta ei ole olemassakaan. Jos tehdään 10 000 000 toistoa, niistä ei voi jättää yhtäkään huomioitta, vaan jokaisen toiston on oltava sellainen, että juontaja arvaa lampaan, aina vain lampaan."
Aina kun juontaja avaa kilpailijan arvauksen jälkeen oven jonka takana on lammas kannattaa kilpailijan vaihtaa arvaustaan, sillä se nostaa hänen todennäköisyytensä 1/3 -> 2/3
On täysin samantekevää tiesikö juontaja ennen oven avausta mitä sen takana oli vai arvasiko.
Esim. sellainen tapaus jossa kilpailussa olisi 2 juontajaa. Toinen tietäisi mitä oven takana on ja toinen ei. On järjetön ajatus, että riippuen siitä kumpi juontaja avaa konkreettisesti saman oven, niin kilpailijan arvaustodennäköisyydet vaihtelisivat.
Myöskään todennäköisyyttä 1/2 ei voi esiintyä tämän ainutkertaisen kilpailijan kohdalla missään vaiheessa. Sitähän juuri peitellysti kysytään, eli kannattaako vaihto vai ei ? Onko fifty/fifty vai ei `?
Mutta tulkoon kukin uskollaan autuaaksi.
...omat voimavarani eivät riitä teidän kouluttamiseen. Aihe on tunnettu ja jo monessa paikassa sitä on käsitelty. Myös tulokset ovat tunnetut. Alkuperäisessä ongelmassa todennäköisyys 2/3, ja mainitulla tapaa muokatussa todennäköisyys 1/2. Näin se vain on kun viitsitte aiheeseen hieman enemmän tutustua.
Olen edelleen eri mieltä. Kun sanotaan, että juontaja avaa arvaamalla oven, jonka takana on lammas, on vain yksi tapaus. Mikä on tässä tapauksessa otos? Juuri tämä yksi tapaus. Otos/Kaikki tapaukset = 1/1 = 100%. Juontajan arvaamista mallintavan ohjelman on siis huomioitava kaikki tapaukset, ei vain osaa niistä.
Korostat, että juontaja olisi voinut arvata auton ja minä sitä, että hän ei arvannut.
Mikä on tuo mainitsemasi 50%, onko sille todellisuudessa vastinetta? Miksi juontajan autoarvaukset jätettäisiin huomiotta, mikä peli on kyseessä?
Jos juontaja tietää, missä palkinto on ja avaa lammasoven, pelaajan voiton tn. on 2/3. Jos juontaja ei tiedä, mitä ovien takana on, pelaajan voiton tn. on 1/3, mutta AINA kun juontaja avaa lammasoven, pelaajan voiton tn. on 2/3 ja AINA kun juontaja avaa auto-oven, peli katkeaa. Arvausta ei koskaan jätetä huomiotta, vaan pelaaja häviäisi, jos juontaja osuisi autoon. Ketjun esimerkissä juontaja ei osu.
Pelaaja voi voittaa tai hävitä, mutta pelissä ei ole sääntöä "Jos juontaja arvaa auton, mitätöimme tuloksen, koska juontajan piti arvata lammas".
Jos olennaista on se, että juontaja olisi voinut arvata auton, vaikka ei arvannut, niin silloin ilmeisesti shakissa ollaan eri asemissa, jos siirretään 1. e4 c5 2. d4 ja 1. d4 c5 2. e4. Jälkimmäisessä siirtojärjestyksessä valkealla oli mahdollisuus syödä toisella siirrolla c5-sotilas d4-sotilaalla, mutta ensimmäisessä siirtojärjestyksessä ei. Muuttaako tämä aseman valkean toisen siirron jälkeen toiseksi? Ei. c5-sotilas voi joka tapauksessa syödä d4-sotilaan, se on yhtä vahva (tai heikko) riippumatta siitä, oliko se menossa edellisellä siirrolla suihin vai ei. Jos shakissa on käytössä termi "transpositio", miksei sitten tuossa arvausleikissä?
Kun arvioimme asemaa shakkilaudalla, pitääkö meidän ottaa huomioon kaikki aikaisemmat siirtomahdollisuudet vai voimmeko analysoida asemaa tietämättä, miten siihen on päädytty? Pitääkö meidän ottaa edellisen esimerkin asemaa arvioidessamme huomioon myös ne asemat, joissa c5-sotilas syötiin eikä se ehtinyt syödä? Ei tietenkään pidä.
Älä kritiikittä usko joka linkkiä jonka Internetistä löydät. Käytä omaa päätäsi.
Jos ovi on aukaistu ja sen takana on lammas, ei ole mitään merkitystä sillä kenen käsi oven kahvaa painoi. Tietäväisen, arvuuttajan jne.
On fakta, että oven takana on lammas ja muut todennäköisyydet ovat sen faktan mukaiset.
Lisäksi joku tuntuu olevan pässinpää.
Kriitikitön hyväksyntäni:
http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem
Katso erityisesti kohta "The general case". Ihmettelen, kuinka yksi ja sama kysymys vuodesta toiseen -- jopa tiheämmin -- herättää matematiikkapalstoilla näin kiivasta keskustelua. Eivätkö kohta jo kaikki tiedä oikeaa vastausta?
>>"Jos ovi on aukaistu ja sen takana on lammas, ei ole mitään merkitystä sillä kenen käsi oven kahvaa painoi. Tietäväisen, arvuuttajan jne.
On fakta, että oven takana on lammas ja muut todennäköisyydet ovat sen faktan mukaiset."
tämä liittyi aiheeseen? Ainakaan minä en löytänyt yhtäläisyyttä.
Kerro sinä mitä virheellistä tässä on:
Jos on 30 eri tapausta, niin
-10 kertaa juontaja avaa auto-oven (tod.näk 1/3)
-10 kertaa auto on kilpailijan ensin valitseman oven takana (tod.näk 1/3)
-20 kertaa auto ei ole kilpailijan ensin valitseman oven takana (tod.näk 2/3)
Kun juontaja avaa auto-oven, on kilpailija valinnut lammasoven. Niinpä kun tapaukset joissa juontaja avaa auto-oven poistetaan, poistetaan samalla yhtä suuri määrä tapauksia joissa kilpailijan ensin valitseman oven takana on lammas.
Eli jäljelle jää 20 ongelman mukaista tapausta joissa:
-10 kertaa auto on kilpailijan ensin valitseman oven takana
-10 kertaa auto ei ole kilpailijan ensin valitseman oven takana
eli 1/2 ja 1/2 aivan selkeästi.
Ymmärrän tietysti sen, että jos juontaja on avannut sattumalta lammasoven, lammasovia on ollut tarjolla kaksi, kun pelaaja on arvannut oikein ja vain yksi, kun pelaaja on arvannut väärin. Jos pelaaja arvasi A ja se oli oikein, avattu lammasovi on B tai C. Jos B on oikein, avattu ovi oli C ja jos C on oikein, avattu ovi oli B. Tämän mukaan neljästä mahdollisuudesta kahdessa A on oikein ja kahdessa se on väärin. 50-50-oletus tulee käsittääkseni tästä.
Minua kuitenkin häiritsee kysymyksenasettelu. Sanotaan, että lammasovi on avattu arvaamalla, mutta jos tätä tilannetta toistetaan, jokaisessa arvauksista juontajan pitää arvata lammasovi. Jos juontajalla on mahdollisuus arvata auto, emme ole enää siinä esimerkissä, josta tässä ketjussa puhutaan, sillä sanottiin, että juontaja avaa lammasoven. Mielestäni jälkikäteen tehtävä oletus arvaamisesta on mieltä vailla. Juontaja päätyy aina lammasoveen. Determinismin vuoksi tämä on mielestäni alkuperäinen Monty Hall -ongelma, jossa vaihto kannattaa.
vos Savant sanoi: "If the host is clueless, it makes no difference whether you stay or switch. If he knows, switch". Tämä johtaa siihen, että todennäköisyyden määrää se, mitä juontajan mielessä liikkuu. Erään kopiokoneen kyljessä sanottiin, että jos henkilö epäilee kalvojen olevan kopiomiseen sopimattomia, ne sulavat kopioinnin yhteydessä. Luulin, että tarkoitus oli kehottaa tarkistamaan kalvojen sopivuus kopiointiin. Ilmeisesti tuo oli kuitenkin jonkun vos Savantin hengenheimolaisen tekstiä. Jos tiedät, että kalvo ei sula, se ei sula, ei se riipu sen kalvon ominaisuuksista. Riittää, kun usko on vahva.
"Kun juontaja avaa auto-oven, on kilpailija valinnut lammasoven. Niinpä kun tapaukset joissa juontaja avaa auto-oven poistetaan, poistetaan samalla yhtä suuri määrä tapauksia joissa kilpailijan ensin valitseman oven takana on lammas."
Ei. Juontaja avaa AINA lammasoven. Teet oletuksen auto-oven avaamisesta, mutta esimerkissä ei puhuta mitään siitä.
Shakkiesimerkki liittyi siihen, että arvausleikissä vallitsevan tilanteen kannalta ei ole mitään väliä sillä, miten siihen päädytään. Jos esimerkiksi jalkapallo-ottelu päättyy 2-1, on sama, edettiinkö lopputulokseen tilanteista 0-1, 1-1, 2-1 vai 1-0, 1-1, 2-1 vai 1-0, 2-0, 2-1. Vierasjoukkue hävisi joka tapauksessa 2-1. 0-1-tilanteessa vierasjoukkue olisi johtanut peliä ja sitä voitaisiin jossitella voittajana, mutta se hävisi. Pelin jälkeen on vain merkki 1, ei enää mahdollisia merkkejä X ja 2.
Jos sattuisit osallistumaan arvauskilpailuun jossa olisi edellisen kaltainen arvausleikki 3 ovea joista kahden takana lammas ja kolmannen auto, ja halajaisit autoa, niin
Saat arvata yhden oven ensimmäisenä. Jos juontaja avaa arvauksesi jälkeen toisen jonka takana on lammas ja antaa sinun vaihtaa arvaustasi jos haluat.
Vaihda hyvä mies jos autoa halajat. Auton saantitodennäköisyytesi kasvaa tässä tuilanteessa aina 1/3 -> 2/3:een.
On aivan samantekevää mitä on tapahtunut ennen sinulle tarjottua vaihtomahdollisuutta. Ei mitään väliä arvasiko vai tiesikö juontaja mitä avaamansa oven takana oli.
Jos et tätä jo tajua, niin olet täysi pässinpää.
Jos heitettäisiin kruunaa ja klaavaa. Kolikko on tasapainoinen ja siinä on kruuna ja klaava. On heitetty kymmenen kertaa ja aina tullut kruuna. Mikä on todennäköisyys, että 11. heitolla tulisi klaava ?
Olisi hauska kuulla vastauksesi edelliseen kysymykseen.
Jos minkä tahansa virheen edellisessä osoitat, niin pyydän nöyrimmästi anteeksi sanontaani pässinpäästä todeten itse olevani täysi tollo.
Lainasin tämän viestin otsikon sinulta tuolta taaempaa ketjun alusta. Kirjoitat siellä tästä samasta asiasta:
"Kuten sanoin, jos juontaja avaa oven ja sattumalta avaa lampaan sisältävän oven on todennäköisyys vaihtamalla voittaa auto 1/2.
Jos juontaja tietää auton paikan ja siis avaa oven jonka takana on lammas,on todennäköisyys voittaa auto vaihtamalla 2/3."
Edellinen kirjoittamasi on täydellistä puuta heinää.
Luulin sinun tarkoittaneen jonkinlaista arvaussarjaa tms. ja että puhuimme eri asiasta. Jatkoin ketjua siinä käsityksessä.
Näyttää kuitenkin. että tarkoitit yksittäistä kilpailutuilannetta jossa kilpailijan on päätettävä kannattaako vaihtaa ovea senjälkeen kun juontaja on avannut oven jonka takana on lammas.
Onnistumistodennäköisyys kasvaa tällöin aina 1/3 -> 2/3:een. Paina se päähäsi pässinpää.
Nöyrä anteeksipyyntöni on tässäkin voimassa jos osoitat edellisen vääräksi.
Se kannattaa vaihtaa jos pääset toteuttamaan tämän arvauksen ja vaihdon kuusi kertaa peräkkäin.
Sen alkuperäisen arvauksen todennäköisyys nousee
puoleen ,ja kun sen vaihdon todennäköisyys on 66%,
niin vasta kuudennen arvauksen ja vaihdon jälkeen olet voittanut yhden auton enemmän kuin vaihtamatta ovea.
Eli jos olet yksin tässä tv-kilpailussa on sama mitä teet,mutta jos teitä on vähintään kuusi henkilöä porukassa ,ja kaikki pääsette koittamaan,niin silloin kannattaa kaikkien vaihtaa ovea ja voitatte porukalla keskimäärin yhden auton enemmän ,jos voitatte.
Kyllä tapahtuma, jonka todennäköisyys on 2/3, on aina todennäköisempi kuin tapahtuma jonka todennäköisyys on 1/2. Ei se todennäköisyys siitä muutu vaikka kuinka monta, tai vähän, kertaa pääsee vaihtamaan.
Kun tarkastellaan esim. 30 eri kertaa Monty Hall showsta, joissa kilpailija on vaihtanut ovea (ja juontaja tietää missä auto on), kilpailijoista noin 20 on voittanut auton ja 10 lampaan.
Voidaanhan nyt ajatella jokaista 30 kilpailijaa yksilöinä (eikä 30 kilpailijan joukkona). Heillä jokaisella oli 2/3:n mahdollisuus voittaa auto. Tilanne on täysin sama kuin olisi esim. seuraanvanlaisessa arvonnassa: hatussa on kolme palloa joista kahdella voittaa auton ja yhdellä lampaan. Kilpailija ottaa sokkona yhden pallon hatusta. Eikö se sinullekin ole selvä että on todennäköisempää valita autopallo, vaikka saisinkin suorittaa arpomisen vain kerran.
Vaihtaminen siis kannattaa (jos juontaja tietää missä auto on).
Minun mielestäni tätä oven vaihtamisen hyötyä ei voi konkreettisesti todeta ennenkuin on tämän vaihtamisen ansiosta voittanut yhden auton enemmän ,kuin jos ei olisi vaihtanut ovea.
Eli C:n todennäköisyys*toistojen lukumäärä-A:n todennäköisyys*toistojen lukumäärä > 1 .
( A=alkuperäinen ovi ja C on jäljellä oleva ovi, B:n valitsi juontaja). 2/3*lkm-1/2*lkm>1=>lkm>6
Tämä on tietysti olevinaan vitsi.
Ensinnäkin tuo 1/2 pitäisi olla 1/3
Luin tätä samaa höpötystä eri sivuilta ja keskusteluista ,ja kun kukaan ei ollut vielä tällaista "logiikkaa esi-
tellyt,niin veivasin oikein puuta-heinää.
Ei tässä tietenkään mitään tolkkua ole.
Juontaja tietää, minkä oven takana urheiluauto on. Jos hän ei tietäisi, hän avaisi keskimäärin kerran kolmesta palkinto-oven ja leikin loppuosa menisi pilalle.
Tämä Monty Hall -ongelma on juuri se, joka kysyttiin Marilyn vos Savantilta. vos Savant sanoi, että vaihto kannattaa, koska palkinto on 2/3 todennäköisyydellä vaihdetun oven takana. vos Savant sai paljon kritiikkiä ihmisiltä ja itsekin luulin, että on sama, vaihtaako pelaaja arvaustaan, koska todennäköisyys on joka tapauksessa 1/2, kruuna tai klaava. Näin ei kuitenkaan ole, vos Savant on oikeassa.
Erotetaan ovet toisistaan kirjaimilla A, B ja C. Oletetaan, että pelaaja valitsee oven A. Palkinto on oven A takana keskimäärin kerran kolmesta ja MUUALLA keskimäärin kaksi kertaa kolmesta. Nyt juontaja avaa oven, jonka takana on lammas. Juontaja tosiaan tietää, että oven takana ei ole autoa ja tämä antaa pelaajalle informaatiota. Oletetaan, että juontaja avaa oven B. Todennäköisyys, että urheiluauto on oven C takana, on 2/3.
Jos pelaaja arvasi heti oikein ja urheiluauto on oven A takana, hän häviää vaihtamalla, mutta niin tapahtuu keskimäärin kerran kolmesta. Tuossa tapauksessa on sama, avaako juontaja oven B vai C, koska niiden molempien takana on lammas. Jos A on väärin, niin kuin on keskimäärin kaksi kertaa kolmesta, urheiluauto on oven B tai oven C takana ja juontaja avaa sen oven, jonka takana urheiluauto ei ole. Jos juontaja avaa B:n, B:n alkuperäinen todennäköisyys 1/3 "siirtyy C:lle", kuten vos Savant sanoo.
Riippuu siitä haluaako lampaan vai urheiluauton.
Osoittautuu että molemmissa tapauksissa kannattaa vaihtaa arvausta.
Jos haluaa lampaan niin sen näkeekin jo mistä se löytyy varmasti, eli todennäköisyydellä 1.
Jos taas jostain syystä kaipaakin vain urheiluautoa, niin senkin saa tn:llä 2/3 vaihtamalla ovea.
Perustelu jälkimmäiselle: Jos on valinnut yhden oven kolmesta niin tn. että siellä on u-auto on 1/3. Jotta se olisi kahden muun oven takana niin tn. on 2/3. Nyt näiden kahden muun oven takana on myös pakosta ainakin yksi lammas. Jos paljastuu missä on lammas, niin sen saman 2/3:n tn:llä siellä toisessa onkin urheiluauto.
Tämä päättely saattaa tuntua hiukan absurdilta, mutta käsittääseni se kuitenkin pätee.
Huomasin juuri että tämähän oli täsmälleen sama tehtävä kuin tuolla aiemmin oli "Joulukilåpailu" (tai jollakin sellaisella otsikolla)!
eli vastaus tuonne aiempaan otsikkoon "determinismi", jossa "viestien hierarkia liian syvä".
(Eli käsittelyssä ongelma jossa juontaja ei tiedä auton paikkaa, vaan arvaa)
Sinun mielestäsi juontajan pitäisi aina arvata lammasovi siten, että ei ole edes mahdollisuutta valita auto-ovea. Eihän se niin voi olla. Arvaaminen tarkoittaa sitä, että ei ole varmuutta tuloksesta. Jos aina arvaa lampaan, on tulos varma, eikä tällöin ole kyse mistään arvaamisesta. Mutta jos sanotaan, että juontaja arvasi lammasoven, se ei tarkoita että juontaja aina avaa lammasoven vaan se arvasi-sana nimenomaan kertoo että juontaja olisi saattanut valita auto-ovenkin.
Vaihtamisen kannattavuuden kyseisessä tapauksessa voi todeta ihan tilastoista (jos niitä olisi). Tilastoista tarkasteluun päätyisivät vain ne tapaukset, joissa juontaja avannut arvaamalla lammasoven (koska juontajan piti ongelman mukaan valita lammasovi). Näistä tilastoista saisi todellakin todennäköisyydet 1/2 ja 1/2, tavalla josta jo aiemmin puhuin.
Aivan vastaavasti tämä menee kuin se, että pitäisi esim määrittää kuinka moni tupakoitsijoista kuolee (heh). Tällöinhän pitää ottaa tarkasteluun vain ne ihmiset, jotka tupakoivat. Sinun logiikkasi mukaan ihmisellä ei saa olla tehtävän mukaan mahdollisuutta valita tupakoiko hän vai ei, sillä siinä sanotaan nimenomaan että "tupakoitsijoista". Mutta tässä, kuten lammastapauksessakin, takastellaan vain tapauksia jotka täyttävät määritellyt ehdot: tapaus tupakoi tai tapauksessa juontaja avaa arvaamalla lammasoven. Eli tarkasteltavassa oteksessa tietty ehto toteutuu aina, mutta kyseinen otos on vain osa kaikista vaihtoehdoista. Eli on jouduttu suorittamaan karsinta, jolla otos vallittiin.
Moi.
Törmäsin samaan "viestiketjun hierarkia on liian syvä"-ongelmaan, joten jatkan täällä. Vastaan Juuson viestiin "Mahdatko leikkiä tolloa".
Oletetaan, ETTEI juontaja tiedä, minkä oven takana auto on. Oletetaan, että juontaja silti onnistuu avaamaan oven, jonka takana on vuohi (ts. peli ei lopu kesken) ja kysytään, millä todennäköisyydellä kannattaa vaihtaa. Juuso ei argumenteissaan ota huomioon seuraavaa: tieto, että juontaja tietämättömyydestään huolimatta onnistuu avaamaan vuohekkaan oven KASVATTAA todennäköisyyttä sille, että alkuperäinen arvaus osui oikeaan (silloinhan juontaja varmasti avaa vuohekkaan oven -- jos taas alkup. arvaus osui hutiin, on avattu ovi vuohekas vain todennäköisyydellä 1/2).
Koska tämä -- against all odds -- on matematiikkapalsta, aion seuraavaksi esittää hieman laskuja. Ensin merkinnät:
O = "Alkuperäinen arvaus oli oikea"
V = "Alkuperäinen arvaus oli väärä"
A = "Juontajan avaaman oven takana on vuohi"
Haluamme laskea todennäköisyyden P[ O | A ] = P["Ensimmäinen arvaus osui oikeaan ehdolla, että juontaja avaa vuohekkaan oven"]. Nimittäin tapaus "Kannattaa vaihtaa ehdolla, että juontaja avaa vuohekkaan oven" on tapahtuman "O | A" komplementti (kannattaa vaihtaa, jos ja vain jos alkuperäinen arvaus on väärä, eikö?). Ehdollisen todennäköisyyden määritelmän nojalla
P[ O | A ] = P [ O ja A ] / P [A].
Tässä P [ O ja A ] = P [ O ], sillä tapahtuma O on tapahtuman A osajoukko (jos alkuperäinen arvaus on oikein, juontaja varmasti avaa vuohekkaan oven). Siis P [ O ja A ] = P [ O ] = 1/3.
Edelleen P [A] = P[ A | O ] P[O] P[ A | V ] P[V] = 1 * (1/3) (1/2)*(2/3) = 1/3 1/3 = 2/3.
Siis P[ O | A ] = (1/3) / (2/3) = 1/2. Komplementin "Kannattaa vaihtaa ehdolla, että juontaja avaa vuohekkaan oven" todennäköisyys on 1 - 1/2 = 1/2, kuten ketjussa on taidettu jo muutamaan kertaan mainita.
Enkä halua itseäni kutsuttavan pässinpääksi, kuten joillekin täällä on käynyt, kiitän.
Nyt loppui minulta turhat lätinät, kun et ymmärrä vaikka mitä selittäisin. Nyt tarvittiin järeämpiä konsteja. Niinpä päätin ohjelmoida kyseiset tapaukset. Tein koodin MATLAB:lla. Koodi ei todellakaan ole tehokkain mahdollinen, mutta pyrin tekemään siitä sellaisen että se on mahdollisimman ymmärrettävä. Ensin määrittelin seuraavat funktiot (aliohjelmat)
-Funktio joka arvaa satunnaisen alkion sille syötetystä vektorista (tallenna nimellä satunnainen.m):
function [y] = satunnainen(x)
n = length(x);
i = round(n*rand(1) 1/2);
y = x(i);
-Aliohjelma, joka arpoo ovien sisällön (joko [1 0 0], [0 1 0] tai [0 0 1] , missä 1 = auto ja 0 = lammas) (tallenna nimellä ovet.m):
function [y] = ovet
I = eye(3);
y = I(satunnainen(1:3),:);
-Funktio, joka poistaa vektorista x alkion i ja palauttaa jäljelle jääneen vektorin (tallenna nimellä poista.m):
function [y] = poista(x,i)
x(i) = [];
y = x;
-Funktio, joka simuloi alkuperäisen ongelman mukaista juontajaa (tallenna nimellä juontaja.m):
function [y] = juontaja(ei_valitut,ei_autoa)
leikkaus = find(ei_valitut == ei_autoa);
if leikkaus
y = leikkaus;
else
y = satunnainen(ei_valitut);
end
-Funktio, joka simuloi huonomuistista juontajaa (tallanna nimellä huonomuistinen_juontaja.m)
function [y] = huonomuistinen_juontaja(ei_valitut)
y = satunnainen(ei_valitut);
Sitten varsinainen pääohjelma (alkuperäinen ongelma):
function montyhall(n)
lkm_voittaa_vaihtamatta = 0;
lkm_voittaa_vaihtamalla = 0;
for i = 1:n
ovien_sisalto = ovet;
ovet_joissa_ei_autoa = find(ovien_sisalto == 0);
kilpailijan_valinta = satunnainen(1:3);
valitsematta_jaaneet = poista(1:3,kilpailijan_valinta);
juontajan_valinta = juontaja(valitsematta_jaaneet,ovet_joissa_ei_autoa);
if (ovien_sisalto(kilpailijan_valinta) == 1)
lkm_voittaa_vaihtamatta = lkm_voittaa_vaihtamatta 1;
else
lkm_voittaa_vaihtamalla = lkm_voittaa_vaihtamalla 1;
end
end
disp('- Tarkasteltujen "Monty Hall" -jaksojen lukumäärä:')
disp(n)
disp('- Jos ei kukaan kilpailijoista olisi vaihtanut, voitettujen autojen lukumäärä olisi:')
disp(lkm_voittaa_vaihtamatta)
disp(' * Eli todennäköisyys voittaa auto _vaihtamatta_ on tämän otoksen mukaan:')
disp(lkm_voittaa_vaihtamatta/n)
disp('-Jos kaikki kilpailijat olisivat vaihtaneet, voitettujen autojen lukumäärä olisi:')
disp(lkm_voittaa_vaihtamalla)
disp(' * Eli todennäköisyys voittaa auto _vaihtamalla_ on tämän otoksen mukaan:')
disp(lkm_voittaa_vaihtamalla/n)
Ja pääohjelma kun juontaja huonomuistinen:
function huonomuistinen_montyhall(n)
lkm_voittaa_vaihtamatta = 0;
lkm_voittaa_vaihtamalla = 0;
lkm_juontaja_avaa_auton = 0;
for i = 1:n
ovien_sisalto = ovet;
ovet_joissa_ei_autoa = find(ovien_sisalto == 0);
kilpailijan_valinta = satunnainen(1:3);
valitsematta_jaaneet = poista(1:3,kilpailijan_valinta);
juontajan_valinta = huonomuistinen_juontaja(valitsematta_jaaneet);
if (ovien_sisalto(juontajan_valinta) == 1)
lkm_juontaja_avaa_auton = lkm_juontaja_avaa_auton 1;
elseif (ovien_sisalto(kilpailijan_valinta) == 1)
lkm_voittaa_vaihtamatta = lkm_voittaa_vaihtamatta 1;
else
lkm_voittaa_vaihtamalla = lkm_voittaa_vaihtamalla 1;
end
end
lkm = n - lkm_juontaja_avaa_auton;
disp('- Tarkasteltujen "Monty Hall" -jaksojen lukumäärä (vain ne joissa juontaja avannut lammasoven):')
disp(lkm)
disp('- Jos ei kukaan kilpailijoista olisi vaihtanut, voitettujen autojen lukumäärä olisi:')
disp(lkm_voittaa_vaihtamatta)
disp(' * Eli todennäköisyys voittaa auto _vaihtamatta_ on tämän otoksen mukaan:')
disp(lkm_voittaa_vaihtamatta/lkm)
disp('-Jos kaikki kilpailijat olisivat vaihtaneet, voitettujen autojen lukumäärä olisi:')
disp(lkm_voittaa_vaihtamalla)
disp(' * Eli todennäköisyys voittaa auto _vaihtamalla_ on tämän otoksen mukaan:')
disp(lkm_voittaa_vaihtamalla/lkm)
Kun ajetaan alkuperäisen ongelman mukainen ohjelma, saadaan tulos:
>> montyhall(1000000)
- Tarkasteltujen "Monty Hall" -jaksojen lukumäärä:
1000000
- Jos ei kukaan kilpailijoista olisi vaihtanut, voitettujen autojen lukumäärä olisi:
332808
* Eli todennäköisyys voittaa auto _vaihtamatta_ on tämän otoksen mukaan:
0.3328
-Jos kaikki kilpailijat olisivat vaihtaneet, voitettujen autojen lukumäärä olisi:
667192
* Eli todennäköisyys voittaa auto _vaihtamalla_ on tämän otoksen mukaan:
0.6672
Tämä on siis se alkuperäinen ongelma, ja tulokset ovat juuri ne 1/3 ja 2/3 niinkuin pitikin ja mistä olemme koko ajan olleet yhtä mieltä.
Mutta sitten se tapaus, jossa juontaja arvaa. Ajetaampa se, ja saadaan tulos:
>> huonomuistinen_montyhall(1000000)
- Tarkasteltujen "Monty Hall" -jaksojen lukumäärä (vain ne joissa juontaja avannut lammasoven):
666886
- Jos ei kukaan kilpailijoista olisi vaihtanut, voitettujen autojen lukumäärä olisi:
333046
* Eli todennäköisyys voittaa auto _vaihtamatta_ on tämän otoksen mukaan:
0.4994
-Jos kaikki kilpailijat olisivat vaihtaneet, voitettujen autojen lukumäärä olisi:
333840
* Eli todennäköisyys voittaa auto _vaihtamalla_ on tämän otoksen mukaan:
0.5006
Eli tämä todistaa, että olet Juuso väärässä! Jos sinulla vielä on jotain nokan koputtamista niin tee toki se korjaus mikä sinun mielestäsi pitää tehdä. Tai kysy jos jäi tuosta jokin epäselväksi.
Olet laatinut hienon ohjelman. Olet varmasti loistava ohjelmoitsija. Olen pahoillani, että en itse osaa ohjelmoida tavallasi ja sen takia en pysty seuraamaan ohjelmasi logiikkaa.
En siis halua arvostella ohjelmaasi enkä sen toimivuutta. Olet varmasti tehnyt hienon työn.
Sensijaan lähestyn kysymystä samoin kuin alusta lähtien eli todennäköisyyssääntöjen ja logiikan pohjalta.
Kyseessä olevan kaltaisissa tapauksissa joissa tulos perustuu satunnaiseen osumatodennäköisyyteen (1/3) tiettyyn oveen on arvaustilanne aina uusi. Ei ole mitään väliä sillä miten käsillä olevaan tilanteeseen on tultu. Menneillä arvauksilla tai muilla valinnoilla ei ole mitään vaikutusta uudessa tilanteessa. Lähdemme aina puhtaalta pöydältä jokaisessa arvauksessamme.
Yritän selittää edellistä kolikonheiton avulla.
Kruunan ja klaavan todennäköisyys joka heitolla 1/2.
Vaikka kruuna olisi tullut jo 10 kertaa peräkkäin, niin sillä ei ole vaikutusta 11 heittoon, vaan klaavan todennäköisyys on edelleen 1/2.
Sensijaan ennakkoon arvioiden on mahdollisuus saada kruuna 10 kertaa peräjälkeen 1/2^10 = 1/1024 ja 11's kerta vaatisi n. 1000 heittoa lisää, eli tod,näk. 1/2048
Totean, että käsittelet tätä 3 oven kysymystä kuten kolikonheiton ennakkoarviointia edellä.
Totean edelleen, että kilpailijan ensimmäinen arvaus osuu autoon 1/3 todennäköisyydellä jättäen 2/3 todennäköisyyden sille, että auto olisikin jommankumman muun oven takana. Näihin todennäköisyyksiin eivät mitkään menneet tapahtumat vaikuta.
Kun juontajan toimenpide on paljastanut kumman oven takana auto on jos se olisi 2/3 ryhmässä, niin kannattaa aina hylätä ensimmäinen 1/3 todennäköinen arvaus ja siirtyä 2/3 todennäköisyyden ryhmään.
Jos juontajan toimenpide paljastaa auton, niin kilpailut ja arvailut päättyivät siihen ja koko ovenvaihtokysymystä ei ole olemassa.
Lopuksi totean, että olet loistava ohjelmoitsija jolle annan vilpittömön arvostukseni
ja jääräpäinen pässinpää mitä tulee todennäköisyyslogiikkaan.
Lähden aamulla mökille viikonvaihteeksi joten kommentoin sen jälkeen jos aihetta
Hyvää viikonloppua
Juuso
En käsittele ongelmaa kuin kilpailijoiden valinnat olisi toisistaan riippuvia. Jokainen kilpailija on kisassa täysin toisistaan tietämättä, ja jokaisella on 1/2:n mahdollisuus.
Ei se kovin kummoista logiikkaa vaadi, että otoksessa A tietyn tapauksen, jonka esiintymisen lukumäärä on B, todennäköisyys on
P = B/A
Nyt A = "tapaukset joissa juontaja avaa lammasoven" = noin 666666
B = "tapaukset joissa kilpailija vaihtamalla voittaa auton" = noin 333333
eli
P = 1/2
Jokaisella kilpailijalla on siis 1/2 mahdollisuus voittaa auto. Kun 666666 kerrotaan 1/2:lla, saadaan 333333, mikä on myös ohjelman antama lukumäärä. Todennäköisyys on 1/2.
missä menet lankaan.
Tottakai on totta, että auto on 2/3:n todennäköisyydella niiden kahden oven takana joita kilpailija ei ensin valinnut. Unohdat kuitenkin, että myös tapaukset joissa juontaja avaa auto-oven ovat niitä tapauksia. Ja koska tapaukset joissa juontaja avaa auto-oven eivät kuulu otokseen, hylätään osa tapauksista joissa auto on kahden ei-valitun oven takana. Niinpä suhdeluvut muuttuvat siihen verrattuna mitä ne olisivat silloin kun juontaja tietää missä auto on.
Näen, että edelleenkin olemme voimakkaasti eri mieltä tästä arvauskilpailusta. Jatkan pohdiskelua nyt aivan alusta alkaen. Kuvailen alkuasetelman seuraavassa tarkasti, jotta varmistuisimme, että puhumme samasta asiasta. Korjaa jos olen käsittänyt jotain väärin. Vastannet lopussa esittämäänii kysymykseen jos kiinnostaa.
ALKUASEMA
On kilpailupaikka, jossa kilpailijan lisäksi voi olla ketä hyvänsä henkilöitä, juontajia, yleisöä ja mitä tahansa rekvisiittaa.
Kilpailupaikalla on kolme täysin samanlaista ovea joista yhden takana on auto. Ovi on valittu arvalla virallisen valvojan toimesta.
Kilpailutilanne on toistettu aikaisemmin lukuisia kertoja. Näistä kilpailuista on olemassa tarkat tilastot, jotka ovat kilpailijan käytettävissä.
Paikalla on uusi kilpailija jolla ei olepienintäkään vihjettä minkä oven takana auto on.
Juontaja kehoittaa kilpailijaa valitsemaan yhden oven jonka takana kilpailija olettaa / arvaa tms. auton olevan.
KYSYMYS
Mikä on todennäköisyys, että auto on kilpailijan valitseman oven takana ?
Mikä on todennäköisyys, että auto on jommankumman kahden muun oven takana ?
>>"KYSYMYS
Mikä on todennäköisyys, että auto on kilpailijan valitseman oven takana ?
Mikä on todennäköisyys, että auto on jommankumman kahden muun oven takana ?"
Tähän kohtaan kirjoitustani:
>>"Oletetaan seuraavaksi, että juontaja ei tiedä minkä oven takana auto on, vaan hänkin arvaamalla avaa yhden oven (joka tietenkään ei voi olla sama kuin minkä kilpailija on valinnut). Tiedän että kilpailun idea tällöin on aika järjetön, mutta sitä nyt kuitenkin pohditaan.
Mainitsemistasi tilastoista voidaan lukea että:
- 1/3:ssa kaikista tapauksista juontaja on avannut auto-oven (koska tapahtuman tod.näk on 1/3).
- 1/3:ssa kaikista tapauksista auto on ollut sen oven takana jonka kilpailija ensin valitsi (koska tämänkin tapahtuman tod.näk on 1/3)
- 1/3:ssa kaikista tapauksista auto on ollut sen oven takana jota kilpailija ei ensin valinnut, eikä juontaja avannut. (koska tämnkin tpahtuman tod.näk on 1/3) "
Auto on siis AINA toistettiinpa tilanne miten useasti tahansa
-1/3 todennäköisyydellä kilpailijan ensin valitseman oven takana
-2/3 todennäköisyydellä jommankumman kehden muun oven takana
Kun juontaja avaa 2/3 ryhmän ovista toisen ja sieltä paljastuu lammas, niin ryhmän todennäköisyys ei muutu, vaan säilyy 2/3. Mutta kilpailija saa nyt varman tiedon, että auto on 2/3 todennäköisyysryhmän toisen oven takana jos tässä ryhmässä on.
Kilpailijan kannattaa aina vaihtaa valintansa alun todennäköisyysryhmästä 1/3 todennäköisyysryhmään 2/3
Jos juontaja kuitenkin paljastaa 2/3 ryhmän oven takaa auton, niin kilpailu päättyi siihen.
KILPAILIJA EI KUITENKAAN HÄVINNYT AUTOA OMIEN VALINTOJENSA TAI VALINTATODENNÄKÖISYYKSIENSÄ VUOKSI, VAAN KILPAILUN JÄRJESTÄJÄN SUORITTAMAN MITÄTÖINNIN VUOKSI.
Edellisen vuoksi kilpailua ei voi käyttää kilpailijan valintatodonnäköisyyksiä koskevissa laskelmissa tai tilastoissa.
Näin mitätöity kilpailu ei mitenkään vaikuta tuleviin kilpailuihin,
vaan uuden kilpailijan alkuvalinnan jälkeen ovet jakautuvat jälleen 1/2 ja 2/3 todennäköisyysryhmiin ja uusi arvausleikki alkaa.
Virheesi on siinä, että et mitätöi juontajan temppujen vuoksi katkennutta arvausleikkiä, vaan pidät sitä mukana kilpailijaa koskevissa todennäköisyyslaskuissa. Alkuvalinnan jälkeiset ovien todennäköisyysryhmät 1/3 ja 2/3 eivät voi muuttua leikin jatkuessa.
Koska et löydä omista päätelmistäsi mitään väärää, niin etsi se mikä on väärin tässä minun päätelmässäni:
(Eli juontaja arvaa oven, ja kaikki jaksot ovat päätynyneet tilastoon)
- 1/3 kaikista tapauksista on niitä, joissa juontaja arvaa auto-oven. OK?
- 1/3:ssa kaikista tapauksista auto on sen oven takana jonka kilpailija ensin valitsi. OK?
- Jäljelle jää 1/3 kaikista tapauksista ja niissä auto on sen oven takana, jota kilpailija ei ensin valinnut, eikä juontajakaan avannut. OK?
Siinä on kolme erilaista vaihtoehtoa. Kerro mikä niistä on väärin. Jos ne ovat oikein, on selvää että vaihdolla ei ole väliä.
Jos juontaja tietää auton paikan ja aina avaa lammasoven ovat vastaavat lukumäärät:
- 0:ssa kaikista tapauksista niitä, joissa juontaja arvaa auto-oven.
- 1/3:ssa kaikista tapauksista auto on sen oven takana jonka kilpailija ensin valitsi.
- Jäljelle jää 2/3 kaikista tapauksista ja niissä auto on sen oven takana, jota kilpailija ei ensin valinnut, eikä juontajakaan avannut.
Tämä viestini on siis lähestulkoon täsmälleen samanlainen kuin viestini jonka "päälle" vastasit. Mutta et selvästikkään lukenut sitä. Voisitko lukea tämän viestin ihan ajatuksella ja kertoa se kohta mikä on virheellinen. Älä esitä uutta vastaesimerkkiä, josta sinun virheesi on vaikeampi selittää.
Et voi ottaa kilpailijan todennäköisyyksiä käsitellessäsi huomioon niitä 1/3 tapauksia joissa leikki katkeaa juontajan avaamaan auto-oveen.
Monty Hall probleema on olemassa vain silloin kun juontaja avaa lammasoven ja kilpailija pääsee valitsemaan.
Mutta
juontajan ei tarvitse tietää ennalta missä auto on. Kilpailijan kannalta tärkeä tieto (kumman oven takana auto on jos lainkaan on) syntyy sillä hetkellä kun lammasovi aukeaa. Ei juontajan ole tarvinnut sitä etukäteen tietää.
Jos auto-ovi aukeaa koko Monty Hall probleemaa ei ole olemassa.
Pyydän sinua perustelemaan sen minkä vuoksi pidät todennäköisyyslaskussasi mukana toimittajan auto-oven aukaisua joka katkaisee leikin.
Epäilyksestäsi huolimatta luen viestisi hyvin huolella ja yritän myös vastata niihin täsmällisesti.
en niitä ottanutkaan, jolloin todennäköisyys on nimenomaan se 1/2 ja 1/2 (kun se nyt oli 1/3, 1/3 ja 1/3) Samantekevää silti vaihtaako vai ei.
>>"Mutta
juontajan ei tarvitse tietää ennalta missä auto on. Kilpailijan kannalta tärkeä tieto (kumman oven takana auto on jos lainkaan on) syntyy sillä hetkellä kun lammasovi aukeaa. Ei juontajan ole tarvinnut sitä etukäteen tietää.
Jos auto-ovi aukeaa koko Monty Hall probleemaa ei ole olemassa."
mokoma kirjoitusvirhe taas:
>>"Alkuperäisessä ongelmassa se taas 2/3:ssa tapauksista aukeaa juuri siitä syystä että toisen valitsemattoman oven takana on lammas."
Juontajan auto-oven avaus syö koko probleeman syntymisen pois.
Kilpailijan taival ei ulottunut oven vaihdon kannattavuusen tarkasteluun saakka. Oven vaihtokysymyksestä ei jäänyt mitään tilastoitavaa.
Se 2/3 todennäköisyys syntyy sillä kahden muun oven ryhmälle sillä hetkellä kun kilpailija valitsee alussa yhden oven. Avoimeksi vain jää kumpi ovi jos 2/3 todennäköisyys toteutuu.
Luulin jo vetäytyneeni keskustelusta, mutta sitten mieleeni juolahti perustelu, jota edes itse en osaa epäillä.
Tämä asettelu on vanha tuttu, mutta kokeillaan vielä kerran: ajatellaan, että kolmen oven sijasta on tuhat. Oletetaan myös, että juontaja arpoo avaamansa ovet.
Aluksi kilpailija lukitsee yhden oven. Sitten juontaja aloittaa arpomisen: "Ensimmäinen ovi; tulipa lammas. Toinen ovi; taas lammas." Juontaja jatkaa, kunnes 998. oven kohdalla hän toteaa: "Hah. Sielläkin oli lammas. Yksi ovi jäljellä -- haluatko vaihtaa?"
Lukija on hyvä ja kysyy nyt itseltään: kumpi tuntuu uskottavammalta? Että kilpailija arvasi heti aluksi oikein, jolloin juontajan kaikki arvaukset tietysti päätyvät lammasoveen -- vai että kilpailija arvasi alussa väärin, mutta juontajalla kävi "aivan älytön munkki", ja nyt kannattaa vaihtaa ovea.
Tästä on kyse myös kolmen oven tapauksessa: se seikka, että juontaja arvaamalla päätyy lammasoveen VAHVISTAA hypoteesia, että arvaus aluksi sattui oikeaan. Kolmen oven tapauksessa lopulliset todennäköisyydet ovat 1/2 ja 1/2. Intuitioni sanoo, että tuhannen oven tapauksessa olisi suorastaan hulluutta vaihtaa ovea, mutta laskut näyttävät toista: todennäköisyydet ovat edelleen 1/2 ja 1/2 (lasku on identtinen jo aiemmin ketjussa esittämäni kanssa). Sen sijaan on tunnettua, että jos juontaja on kaikkitietävä ja ovia on tuhat, vaihto kannattaa todennäköisyydellä 999/1000. Juontajan tiedoilla on siis huimasti merkitystä.
Vielä kerran pistän lusikkani tähän soppaan minäkin.
Mielestäni sinä, "errrc", perustelet kyllä muuten ihan oikein, mutta et saisi sotkea tarkasteluun lainkaan niitä tapauksia, jotka eivät tehtävän asettelun mukaan ole mahdollisia. On ihan totta, että jos juontaja avaisi oman ovensa sattumalta, niin puolet niistä tapauksista, joissa kilpailija on valinnut lammas-oven päättyisivät todennäköisesti siihen, että juontaja paljastaisi auton.
Koska tehtävän asettelussa sanotaan, että juontajan avaaman oven takaa paljastuu lammas, niin tarkastelussa voi olla vain tapauksia, joissa niin käy. On siis väärä tapa luoda aineisto, jossa on mukana myös tapauksia, jotka eivät voi tapahtua, ja sitten vain poistaa kyseiset tapahtumat. Niitä ei saa olla mukana alun perinkään.
Tässä tehtävässä kilpailija voittaa vaihtamalla vain, jos on ensin valinnut lampaan piilottavan oven, ja sen jälkeen juontaja paljastaa lampaan. Koska tehtävän asettelussa sanotaan, että juontaja paljastaa lampaan, niin niin tulee myös käydä. Kilpailija voittaa siis vaihtamalla jos ja vain jos hän on ensin valinnut lampaan. Tällöin voiton todennäköisyys vaihtamalla on 2/3. Jos tähän tarkasteluun otettaisiin mukaan myös ne tapaukset, joissa juontaja paljastaa auton, häviäisi puolet vaihtamalla saaduista voitoista siihen. Siispä näyttää siltä, että jäljelle jäävä todennäköisyys voittaa vaihtamalla on vain 1/3. Tilannetta ei muuta enää se, että tässä vaiheessa poistetaan tapaukset, joita ei voi tapahtua. Tilasto on jo vääristynyt.
Ihan totta on tietysti myös se, että jos juontaja avaisi ovia vain arvaamalla, niin hän paljastaisi auton todennäköisesti puolessa niistä tapauksista, joissa kilpailija on valinnut oven, jonka takana on lammas. Toisaalta tehtävässä edellytetään, että juontaja paljastaa lampaan. Niinpä onkin ihan selvää, että kilpailun ja tehtävän mielekkyyden takia juontajan on tiedettävä, mitä minkäkin oven takana on.
En ole enää ihan varma, mistä tässä viestiketjussa oikein väitellään. Mutta jos kysytään, onko kilpailun kannalta merkitystä sillä, tietääkö juontaja minkä oven takana palkin on, niin vastaus on: "Kyllä, sillä on kilpailun kannalta erittäin suuri merkitys."
Oleellisin asia mielestäni on kuitenkin se, että kaikissa niissä tapauksissa, joissa juontaja on paljastanut lampaan lopputulos on aina sama. Kilpailijan alkuperäinen arvaus on osunut oikeaan todennäköisyydellä 1/3. On siis todennäköisempää, että palkinto on jomman kumman muun oven takana. Jos niistä toinen osoitetaan vääräksi, niin kilpailijan alkuperäinen arvaus on edelleen oikein todennäköisyydellä 1/3. Palkinnon on siis oltava sen kolmannen oven takana todennäköisyydellä 2/3.
Mutta vain siinä tapauksessa, että juontaja paljasti lampaan - vaikka olisi tehnyt sen vahingossa.
- Mika
Syystä tai toisesta emme osaa puhua keskenämme todennäköisyyslogiikasta.
Kysymyksen käsittely ei pääse etenemään, vaan on jähmettymässä turhaksi jankkaamiseksi.
Ehkäpä kuitenkin pääsimme niin pitkälle, että oli miten tahansa, niin kilpailija jakaa Monty Hallin probleemassa ovet aina ensimmäisellä valinnallaan kahteen ryhmään joista toisessa on auto 1/3 todennäköisyydellä ja toisessa 2/3 todennäköisyydellä.
Ratkaisun avaimet lähtevät siitä.
kanssasi samaa mieltä. Jos sanotaan, että juontaja arvaa niin silloin on oltava mahdollisuus, että juontaja avaa auto-oven. Muuten se ei ole arvaamista ollenkaan. Ainoa tapa käytännössä mitata/simuloida todennäköisyys on luoda aineisto, jossa haluttu kriteeri toteutuu (juontaja avaa lammasoven) ja tarkastella tapahtumien lukumääriä (montako kertaa auto on sen oven takana minkä kilpailija ensin valitsee ja toisinpäin). Minä loin ohjelmassani kyseisen aineiston ja sain todennäköisyyksiksi 1/2 ja 1/2. Sillä ei ole merkitystä miten aineisto on luotu kunhan vain kaikki ne tapaukset joissa kriteeri toteutuu ovat tasapuolisesti tarkastelussa. Minä en karsinut niistä yhtäkään pois. _Vain_ ne tapaukset karsittiin, joissa juontaja avaa auto-oven, sillä ne tapaukset eivät täytä kriteeriä.
Sinun ja Juuson logiikan mahdottomuuden voi todeta jo sillä että sitä on mahdotonta simuloida. Sillä miten voi koodin pakottaa arvaamaan lammasoven? Ei mitenkään. Tilanne pelkistyisi siis alkuperäiseksi tapaukseksi jossa juontaja avaa lammasoven tietoisesti. Tilanne kuitenkaan ei voi olla sama sillä arvaaminen ja tietäminen ovat kaksi täysin vastakkaista asiaa.
Minä(kin) olen jo kyllästynyt vatvomaan tätä asiaa, joten luultavasti en jatka keskustelua enempää vaikka erimielisyydet jatkuisivatkin. Selvästi asia ei etene suuntaan eikä toiseen.
errrrc'ltä kysyn
olet määritellyt ovien vahtutodennäköisyydet juontajan tiedon mukaisesti;
- jos juontaja avasi lammasoven tiedon perusteella kannattaa kilpailijan vaihtaa, koska autotodennäköisyytensä silloin kasvaa 1/3:sta 2/3:een
- jos juontaja avasi lammasoven arvaamalla on tilanne fifty fifty eli vaihto ei tuo etua
Mitenkä käy tilanteessa jossa juontajalle sanottiin minka oven takana auto on, mutta ruuri ratkaisevalla hetkellä hän unohti sen täysin, ja saattoi vain arvata. Arvaus osui onneksi lammasoveen ja kilpailija sai miettiä vaihdon kannattavuutta. Mitkä todennäköisyydet ovat nyt ?
Samalle huonomuistiselle juontajalle kävi seuraavassa kilpailussa siten, että hän unohti auton sijainnin jo kilpailun alussa. Onneksi sa palautui hänen mieleensä juuri ennen ratkaisevaa oven avausta ja hän osasi tietoisesti avata lammasoven. Mikä on kilpailijan vaihtotodennäköisyys nyt ?
Ilmeisesti se vaihtelee 1/2 ja 2/3 välillä. Voitaisiinko se tarkemmin määritellä esimerkiksi siinä suhteessa kauanko juontaja muisti oven verrattuna siihen kauanko kilpailu kesti ?
Et voi olla tosissasi. Vain sillä on merkitystä avaako juontaja oven tietäen, että siellä on lammas. Sillä ei ole tietenkään merkitystä milloin tai miten juontaja tiedon saa.
Jos juontaja tekee päätöksen avata jonkin oven kun hän ei muistä mitä sen takana on, mutta muistaakin että siellä on lammas jo juuri ennenkuin hän oven avaa. Päätös avaamisesta on silti tehty ilman tietoa, joten kilpailijan todennäköisyydet ovat 1/2. (Sillä jos tapahtuma toistuu, joskus juontaja avaa auto-oven, vaikka muistaa sen juuri ennen aiukaisua (kun on jo liian myöhäistä vaihtaa))
Siis riippuen siitä missä tiedon tilassa juontaja oöi ovenavaamispäätöstä tehdessään on kilpailijan ovenvaihtotodennäköisyys 2/3 tai 1/2.
Koska tämä ob ratkaiseva tieto kilpailijan kannalta tulisi juontajan ennen oven avaamista ilmoittaa milloin ja missä tiedon tilassa hän päätöksensä teki.
jokin hämää ainakin minua
Edellisestä "Pässi ja Ferrari"-ketjusta olikin jo aikaa...
JÄLLEEN keskustelu on mennyt varsinaisen kysymyksen ohi siihen, "tietääkö juontaja vai ei". Perustelut alkavata olla niin pitkiä ja monimutkaisia, etten jaksanut lukea kaikkia 56 viestiä. Ehkä olisi pitänyt. Kenties koko alkun perin esitetty ongelma oli liian vaikeaselkoinen. Laitanpa tähän vähän yksinkertaisemman tehtävän.
1. Heitän kaverini kanssa lanttia. kummallakin on oma lantti. Kaverini heittää ensin ja saa tulokseksi klaavan. Minä näen kaverin heittämän tuloksen ja heitän sitten itse. Millä todennäköisyydellä heitän saman, kuin kaverini?
2. Tilanne muuten sama, kuin kohdassa 1, mutta kaverini onkin hieman kiero; hänen lantissaan on kaksi klaavaa. Edelleen kaverini heittää ensin, ja minä näen hänen heittämänsä tuloksen, jonka jäkeen heitän oman lanttini. Millä todennäköisyydellä heitän saman, kuin kaverini?
Kohdassa 1 kaverini ei tiennyt heittonsa tulosta etukäteen, ja heitti klaavan, jonka minä näin ennen heittoani. Kohdassa 2 kaveri toki tiesi etukäteen tuloksensa. Muuttaako kaverin tieto omasta tuloksestaan varsinaisessa kysymyksessä esitettyä tapahtumaa. (Varsinainen kysymys on siinä virkkeessä, jonka lopussa on huutomerkki.)
Vielä yksinkertaisempi kysymys: Näen, että kaverini heitti klaavan. Millä todennäköisyydellä se on sittenkin kruuna?
En odota näihin vastauksia. Ihan pohdittaviksi vaan.
- Mika
>>"1. Heitän kaverini kanssa lanttia. kummallakin on oma lantti. Kaverini heittää ensin ja saa tulokseksi klaavan. Minä näen kaverin heittämän tuloksen ja heitän sitten itse. Millä todennäköisyydellä heitän saman, kuin kaverini?">"2. Tilanne muuten sama, kuin kohdassa 1, mutta kaverini onkin hieman kiero; hänen lantissaan on kaksi klaavaa. Edelleen kaverini heittää ensin, ja minä näen hänen heittämänsä tuloksen, jonka jäkeen heitän oman lanttini. Millä todennäköisyydellä heitän saman, kuin kaverini?" P(heitän saman kuin kaverini) = 1/2*0 1/2*1 = 1/2
Eli todennäköisyys on sama kuten intuitiokin sanoo. Mutta jos tarkoituksenasi oli tämän avulla jotenkin "piilossa" ottaa kantaa lammas ja auto -ongelmaan, niin ainakaan minä en keksi mikä se yhteys on.
Kuten tässä keskustelussa on tullut todettua, jos juontaja tietää missä auto on, niin kilpailijan kannattaa vaihtaa 2/3:n todennäköisyydellä. Jos juontaja ei tiedä, vaan on sattunut vain arvaamaan lammasoven, on samantekevää vaihtaako vai ei. Tämä on siis oikein, mutta ihan mielenkiinnosta kysyn: Mikä on sinun kantasi tähän?
Tuosta "lammas-auto"-ongelmasta väitellään tällä(kin) palstalla aika-ajoin. Kuten jo mainitsiin keskustelu tahtoo mennä varsinaisen kysymyksen ohi siihen, "tietääkö juontaja vai ei".
Kun kysyit kantaani, niin sen olen jo ilmaissut aiemmilla kerroilla, mutta sanottakoon se vielä: Tehtävän asettelussa sanotaan tässä kyseisessä versiossa: "Arvaat yhden oven, jonka jälkeen juontaja avaa kahdesta jäljelle jääneestä ovesta toisen, jonka takana on lammas." Tehtävän ratkaiseminen pitää aloittaa tästä annetusta lähtötilanteesta, joka siis on jo tapahtunut. On sanottu ihan suoraan, että juontajan avaaman oven takana oli lammas. Miksi siis pitäisi vielä miettiä, että mitä jos siellä olisikin ollut auto, tai mikä johti siihen, että siellä oli lammas.
Otetaan vielä kerran:
- Kilpailija valitsee umpimähkään yhden oven. Tuon oven takana on lammas todennäköisyydellä 2/3.
- Juontaja avaa - tietoisesti tai ihan tietämättään umpivahingossa, miten vain, toisen jäljelle jääneistä ovista, jonka takaa paljastuu lammas.
Nyt kysytään, kannattaako kilpailijan vaihtaa ovea. Jos juontajan avaaman oven takana olisikin ollut auto, niin kilpailija voisi ihan rauhassa lähteä lammas kainalossa kotiin. Autoa ei hänelle tulisi, vaikka ovea vaihtaisi. Siispä kilpailijalta olisi turha kysyä oven vaihtamisesta.
Juontajan oven takana ei kuitenkaan ollut autoa, vaan lammas, kuten tehtävänasettelussa kerrottiin. Niinpä edellä oleva kysymys on tässä tilanteessa järkevä esittää: "Kannattaako kilpailijan vaihtaa ovea?"
Jos kilpailija vaihtaa tehtävän mukaisessa tilanteessa ovea, myös sen takana oleva palkinto vaihtuu vääjäämättä. Ja koska kilpailijan alun perin valitseman oven takana on lammas todennäköisyydellä 2/3, niin samalla todennäköisyydellä sen toisen oven takana on tehtävän mukaisessa tilanteessa auto.
Rahanheittotehtävään esität myös väärän perustelun. Siinäkin kerrottiin, että kaveri heitti jo klaavan. Silti lasket todennäköisyyttä sille, että kaverin lantti olisikin ollut kruuna. Pelkästään P(heitän klaavan)=1/2 olisi riittänyt.
Esimerkki vain oli liiankin yksinkertainen, olisi pitänyt varmaan kysyä: "Mikä on todennäköisyys sille, että minäkin heitän klaavan?" Silloin joku olisi ehkä vastannut 1. kohtaan 1/4.
- Mika
et siis tiedä oikeaa todennäköisyyttä tapauksessa, jossa juontaja on arvaamalla sattumalta avannut lammasoven. Ainakin sain sen käsityksen että sinunkin mielestäsi sillä ei ole merkitystä tietääkö juontaja missä auto on.
Sinäkin vetoat siihen, että oven takana on aina lammas, eikä juontajalla muka olisi ollut mahdollisuutta valita autoa. Se kun vain ei ole arvausta. Jos juontaja arvaa, tarkoittaa se että hän olisi voinut valita myös auto-oven (huomaa konditionaali: -isi). Eli kun tapaus toistetaan monta kertaa on 1/3 niitä tapauksia joissa juontaja avaa auton, niitä ei tarkastella. Vain ne 2/3 tapauksista joissa juontaja avaa lammasoven kuuluu otokseen.
Miten sinä selität sen, että esim. tekemässäni ohjelmassa noin 666666:n suuruisessa otoksessa, joissa juontaja arvaa lampaan, kilpailija voittaa auton vaihtamalla noin 333333 kertaa, eli todennäköisyydellä 1/2. Sama tulos saadaan myös koodinpätkässä täällä:http://www.aggressivesoftware.com/misc/montyhall/
Saman asian löydät myös selitettynä ja koodattuna lukuisista eri paikoista.
en jaksa kirjoittaa samoja perusteluja uudelleen ja uudelleen joten tässä linkki tuonne ylemmäs jossa mielestäni asian melko selvästi esitin:
http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi?category=2000000000000020&conference=4000000000000027&posting=22000000022578347
Ks. laskennallinen perustelu sille, miksi todennäköisyys "juontaja arvaa"-tapauksessa sittenkin on 1/2:
http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi?category=2000000000000020&conference=4000000000000027&posting=22000000022603511
Todennäköisyydet lammasoven avaamisen jälkeen ovat siis nämä:
i) Jos juontaja tietää palkinnon paikan, vaihdon jälkeen voiton todennäköisyys on 2/3.
ii) Jos juontaja avasi lammasoven arvaamalla, vaihdon jälkeen voiton todennäköisyys on 1/2.
Jos kilpailija ei tiedä, tietääkö juontaja palkinnon paikkaa vai ei, hänen kannattaa joka tapauksessa vaihtaa, sillä vaihto ei laske voiton todennäköisyyttä, mutta se voi nostaa sitä.
Muokatussakin Monty Hall -ongelmassa siis pelaajan kannattaa joka tapauksessa valita vaihtostrategia. Vaikka hänelle olisi sanottu, että juontaja arvaa, vaihto on silti suositeltava strategia, koska pelaajaa voidaan hämätä.
Tässä pelissä vaihto kannattaa siis aina.
Juontaja voi myös pyrkiä minimoimaan palkintokustannukset ehdottamalla vaihtoa vain silloin kun kilpailijan ensimmäinen valinta osuu oikeaan.
Eli vaihtoehdot ovat:
i) Juontaja tietää palkinnon paikan, avaa aina tarkoituksella lammasoven ja tarjoaa aina vaihtoa. Vaihdon jälkeen voiton tn. on 2/3, muuten 1/3.
ii) Juontaja avaa lammasoven sattumalta ja tarjoaa aina vaihtoa. Vaihdon jälkeen voiton tn. 1/2, muuten 1/2.
iii) Juontaja avaa lammasoven vain silloin, kun pelaajan arvaus on oikein. Vaihdon jälkeen voiton tn. 0, muuten 1.
Tapaus iii) toteutuisi keskimäärin kerran kolmesta, vain silloin kun kilpailija arvaa oikein. Jos juontaja valitsisi systemaattisesti strategian iii), se paljastuisi pelaajille jonkin ajan päästä ja kukaan ei enää vaihtaisi. Tällöin voiton tn. olisi pelin alussa 1/3 ja jos lammasovi avattaisiin, voitto olisi varma. On kuitenkin mahdollista, että juontaja varioisi strategiaansa.
Kun pelaaja ei tiedä, mikä juontajan strategia, voiton tn. on aina pelin alussa 1/3. Jos vaihtoa ehdotettaessa mahdolliset tn:t ovat 2/3, 1/2 ja 0 ja aiemmista peleistä ei ole käytettävissä tietoa, vaihto ei ilmeisesti kannata. Vaihtamatta todennäköisyydet ovat 1/3, 1/2 ja 1, joiden summa on 1 5/6, kun taas vaihtaen todennäköisyyksien summa on 1 1/6. Vaihtamatta odotusarvo olisi suurempi. Kun pelaaja ei tiedä, miten juontaja pelaa, vaihto ei kannattaisi.
Alkuperäisen Monty Hall -ongelman vastaus "Kannattaa vaihtaa" ei pitäisi paikkaansa. Vain jos pelaaja tietäisi varmasti, että juontaja avaa joka tapauksessa lammasluukun ja tarjoaa vaihtoa, vaihto kannattaa.
En kuitenkaan ole varma siitä, pitäisikö odotusarvoa laskettaessa jotenkin huomioida se, että tapaus iii) toteutuu vain kerran kolmesta. Jos juontaja avaa lammasoven, pelaaja voi 2/3 todennäköisydellä olettaa, että juontajan strategia ei ole iii). :D
Jos juontajan strategiaa ei tiedetä, on odotusarvojen laskeminen vähän heikolla pohjalla. Voi tietenkin yritää päätellä todennäköisyyksiä juontajan mahdollisille strategioille ja toimia sen mukaan. Etukäteen ei kuitenkaan voida tietää onko valittu taktiikka parempi kuin joku toinen.
Sitten on vielä olemassa sellainen mahdollisuus, että juontaja avaa autottoman oven ja tarjoaa vaihtoa vain silloin kun kilpailija on valinnut aluksi väärän oven. Tämä tuottaisi vaihtajalle aina osuman.
Tottakai kannattaa vaihtaa sitten toiseen oveen. Tämä on todistettu.
Kerta, jos et ensimmäisellä kerralla ole valinnut oikeaa ovea niin valitsemasi on väärä ja "juontaja" voi varmasti avata toisen tyhjän. Näin ollen vaihto kannattaa!!
koska on kaksi tuntematonta ovea, joista et tiedä kumman takana on urheiluauto.
Varsinkin jos pidät sekä lampaan lihasta että urheiluautoista? :)
sulle se lampaanliha sopiikin