Sekä reaalivastaus että imaginäärivastaus

(x 1)^4-16=(x^2 2x 1-4)(x^2 2x 1 4)=(x^2 2x-3)(x^2 2x 5)=0

ratkaisukaavalla x^2 2x-3=0 tai x^2 2x 5=0

x=(-2 /-sgrt(16))/2
tai
x=(-2 /-sqrt(-16))/2

Tuosta tulee kaikki neljännen asteen yhtälön neljä ratkaisua ulos, joista kaksi alempaa sisältävät imaginääriosan.

Vielä lisään ystävällisessä mielessä, että kadotat osan ratkaisuista, kun toteat, että 16=2^4=(-2)^4.

2 ja -2 eivät suinkaan ole ainoat ratkaisut yhtälölle x^4=16. Tämähän on myös neljännen asteen yhtälö ja sillä on niin ikään neljä ratkaisua.

x^4=16 eli x^4-16=0 eli (x^2-4)(x^2 4)=0.

Siis x^2=4 (löytämäsi reaaliratkaisut -2 ja 2) tai
x^2=-4 eli x=sqrt(-4) tai x=-sqrt(-4). (puuttuvat kysytyt kompleksiset ratkaisut.) Tehtävä olisi mennyt täysin nappiin, jos olisit myös huomannut nämä.

Yksi tapa laskea on käyttää kompleksisia juuria. Pieni opas aiheeseen on vaikkapa https://www.math.brown.edu/~pflueger/math19/1001 Complex roots.pdf .

Hetken pyöriteltyä sain itse ratkaistua näin

(x 1)^4=16 |*(-1)
-1*(x 1)^4=-16 |√
i*(x 1)^2= -√-16
i*(x 1)^2=( )-4i |i supistuu, √
x 1= -√-4
x 1= -√4 i
x 1= -2i
x=-1 -2i

Edellisen ratkaisua en lukion tähänastisilla opeilla ymmärrä. Omasta ratkaisusta en tiedä meninkö täysin laillisia reittejä, mutta oikea vastaus kuitenkin tuli.

(x 1)^4=16 |√
(x 1)^2= -4 |√
x 1 = -√ -4
x=-1( -)√( -)4

(x 1)^4 - 16 = ((x 1)^2 -4) ((x 1)^2 4) = ((x 1) - 2)) ((x 1) 2) (x^2 2x 5) = (x-1) (x 3) ( x^2 2x 5) = 0. Ratkaisuja ovat siis x = 1, x = -3 ja yhtälön x^2 2x 5 = 0 juuret, jotka ovat 1/2 (-2 /- sqrt(4 - 20)) =
-1 i 2 ja -1 - i 2.

Ohman