Modulaariaritmetiikasta
https://fi.wikipedia.org/wiki/Modulaarinen_aritmetiikka
Neliöitä aiemmin käsitelty mm. keskustelussa
http://keskustelu.suomi24.fi/t/14864165/todistamis-lasku
Pohdiskelin viikonloppuna edelleen, miten neliöt sijoittuvat verrattuna kuudella jakamisen jakojäännöksiin. Eli jos lukuja kirjoitettaisiin kuusisarakkeiseksi taulukoksi
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10... jne.
niin mitä kuvioita tai sarjoja taulukosta voisi löytyä, ja miten mm. neliöt sijoittuvat sinne. Aiemmissa keskusteluissa on esitetty mm. seuraavia väitteitä:
Kolmea suurempi alkuluku on kuudella jaollisesta luvusta -1 askelen päässä, eli vain sarakkeissa 5 ja 1 on alkulukuja ensimmäisen rivin jälkeen. Tätä väitettä on esim. Youtube-videolla
'7 Things You Need to Know About Prime Numbers' - Dr Vicky Neale
https://www.youtube.com/watch?v=_Nch1ho77gQ
Kolmea suurempien alkulukujen neliöt löytyvät sarakkeesta 1. Tätä havaintoani on mainiosti todisteltu muiden toimesta keskustelussa
http://keskustelu.suomi24.fi/t/14868576/alkulukujen-neliotko-muotoa-6x- 1
Mutta jatkoin tästä eteenpäin. Ihmettelin, onko nyt löytynyt uusi menetelmä etsiä alkulukuja - tarkistaa, onko jokin luku alkuluku. Sujuisiko tuo tarkistus yksinkertaisesti vain korottamalla luku neliöksi ja ottamalla jakojäännös kuutosella. Jos jakojäännös kuudella jakamisesta olisi 1, niin sittenkö johtopäätös, että kyllä oli alkuluku? Näinkö yksinkertaista se olisi?
Eli, sarjastamme "Sedän seikkailut matematiikan ihmemaassa", pohdiskelin päässälaskulla ajatellen, miten neliöt asettuvat taulukkoon, ja onko sarakkeessa 1 muita neliöitä kuin alkulukujen neliöitä.
Havaintoja, johtopäätöksiä
Esim. 35 toiseen ja 55 toiseen ovat myös sarakkeessa 1. Tämä todistaa, että siinä sarakkeessa on muidenkin lukujen kuin alkulukujen neliöitä. Ei siis löytynytkään uutta menetelmää alkulukujen etsintään tästä. Mutta mistä on kyse tässä ykkössarakkeessa?
Keskustelussa
http://keskustelu.suomi24.fi/t/14868576/alkulukujen-neliotko-muotoa-6x- 1
esitettiin algebran kaavoja muistuttava todistus, jotain tämän tapaista päättelyä
p^2 = 6n 1, joten (p 1)(p-1) = 6n, ja kun p ei ole parillinen eikä kolmella jaollinen, niin viereisistä luvuista yksi on kolmella jaollinen ja molemmat parillisia.
Tuo pätee ei pelkästään alkulukuihin, vaan p voi olla mikä hyvänsä muukin sellainen positiivinen kokonaisluku, jossa ei ole jaollisuutta kahdella eikä kolmella. Eli kaikkien tällaisten lukujen neliöt osuvat sarakkeeseen yksi!
Entäs sitten kahdella ja kolmella jaolliset?
Kahdella mutta ei kolmella jaollisten lukujen neliöt osuvat sarakkeeseen 4. Tällekin voidaan vääntää algebrallinen perustelu p^2 = 6n 4, eli (p 2)(p-2) = 6n, joten kolme lukua, p, p 2 ja p-2 muodostavat aritmeettisen sarjan, parillisia lukuja, joista yksi on kolmella jaollinen, ja näin myös kuudella jaollinen. Joten kahdella mutta ei kolmella jaollisen luvun neliö osuu aina sarakkeeseen 4.
Kahdella ja kolmella jaollisten lukujen neliöt osuvat sarakkeeseen 6. Kun luku itse on kuudella jaollinen, tietysti neliökin sitten on.
Kolmella mutta ei kahdella jaollisen luvun neliö osuu sarakkeeseen 3. Esim. 9 ja 81 ja 225 löytyisivät sarakkeesta 3. Nimittäin, kolmella jaollisia sarakkeita on taulukossa vain sarakkeet 3 ja 6, joten kolmella jaollisten lukujen neliöitä ei voi olla muissa sarakkeissa.
Näillä perusteluilla voidaan vetää seuraava johtopäätös, teoreema:
Sarakkeista 2 ja 5 ei löydy minkään luvun neliötä ollenkaan! Koska neliöt ovat todistetusti muissa sarakkeissa! Setä olisi halunnut luvata kymmenen pistettä ja papukaijamerkin sille, joka etsii ja löytää neliöitä sarakkeista 2 ja 5. Mutta valitettavasti sedältä ovat papukaijamerkit loppuneet. Onnea neliöiden metsästykseen!
Sarakkeista saattaisi löytyä mielenkiintoisia sarjoja, joita en vielä ehtinyt ajatella kovin paljon. Toki jokainen sarake sinällään on jo aritmeettinen sarja, kuudella kasvava. Mutta tarkoitin mielenkiintoisella esim. sarakkeesta 4 löytyviä neliöitä: geometrinen sarja 4, 16, 64, 256.... Ja samasta sarakkeesta toinen sarja: 100, 400, 1600.....
En tiedä, onko joku perehtynyt tällaisiin sarjoihin, tai laatinut jotain tilastoa siitä, miten neliöt jakautuvat eri sarakkeisiin. Olisinko oikeassa, jos veikkaisin, että sarakkeesta 1 löytyy enemmän neliöitä kuin muista sarakkeista? Löytyykö siitä sarakkeesta jokin erikoinen sarja, esim. RMS-sarja?
Neliöt, alkuluvut ja MOD 6
5
196
Vastaukset
- hjjghgfgh
en lukenut kirjoitustasi
sanon, että
koska alkuluvut ovat jaottomia kaikki, niin niitä on ääretttömästi.
niihin ei päde mitkään säännöt ja siksi, niitä ei voi määritellä millään kaavalla, koska mikään sääntö ei päde niihin.
jos tähän ei keksi todistusta, niin kuin uskon, koska todistusta ei voi määritellä, sen hakeinen on mahdostonta, niin
se on aksiooa, ehkä aika turha, mihin sitä käyttää, niin kuitenkin se on.
miten voi löytää aksiooman, miten voi tietää että jokin on aksiooma.miten voi perustella aksiomaan. se on sovittava
niiden määritelmä on muuten alkuluvut ovat jaottomia kokonaislukuja¨
muutakin ehkä keksisi siis ehkä niiden määritelmään, mitä koskee alkulukuja- Setä.pohtii
Eräs alkulukujen määritelmä olisi mielestäni tällainen:
lukujen tekijät ovat alkulukuja.
Eli ovat kuin jaollisten lukujen komponentteja. Muissa luvuissa on alkulukuja tekijöinä erilaisia yhdistelmiä. - En tiedä, sopiiko tähän sana kombinaatio, vai mieluummin permutaatio. Monesti kävelylenkillä tai muuten liikenteessä kulkiessa olen katsellut autojen rekisterinumeroita. On tullut tavaksi laskea huvikseni päässä lukujen tekijät, tai onko kyseessä alkuluku. Joskus luvun tekijöiden muistaminen saattaa edesauttaa numerosarjojen muistamista. Asiaan liittyy myös symboliikkaa uskonnon puolelta. Mutta en minä numeroista mitään uskonnon oppia tai ennustuksia lähtisi rakentelemaan.
Alkuluvuista on yritetty rakentaa teorioita - Riemann ja muut. On yritetty tulostaa tai kuvailla niitä eri menetelmin ja löytää sieltä jotain kuvioita, säännönmukaisuuksia. En pidä mahdottomana, etteikö jokin malli tai sääntö vielä löytyisi, vaikka jonkinlaisena negaationa. Että jää jäljelle tällainen lukujen joukko, jos nämä ja nämä poistetaan jollain kaavalla tai menetelmällä, tai jos matematiikka lähenee ATK:ta, niin iteraatiolla, algoritmilla, rekursiolla... - alkuluvuista
Alkulukuja lienee turha määritellä uudestaan koska niiden määritelmä on jo selkeä.
>Eli ovat kuin jaollisten lukujen komponentteja. Muissa luvuissa on alkulukuja tekijöinä erilaisia yhdistelmiä.
Puhut ilmeisesti aritmetiikan peruslauseesta.
https://fi.wikipedia.org/wiki/Aritmetiikan_peruslause
>En tiedä, sopiiko tähän sana kombinaatio, vai mieluummin permutaatio.
Kombinaatioista, koska kuten ylläolevassa wikipedia-artikkelissakin sanotaan, kertolasku on kommutatiivinen.
>tai jos matematiikka lähenee ATK:ta, niin iteraatiolla, algoritmilla, rekursiolla...
On keksitty jo lukuisia tapoja laskea mahdollisimman nopeasti alkulukuja. Jos englanti taipuu niin https://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Atkin on niinkin uusi kuin vuodelta 2003. - Setä.kiittelee
alkuluvuista kirjoitti:
Alkulukuja lienee turha määritellä uudestaan koska niiden määritelmä on jo selkeä.
>Eli ovat kuin jaollisten lukujen komponentteja. Muissa luvuissa on alkulukuja tekijöinä erilaisia yhdistelmiä.
Puhut ilmeisesti aritmetiikan peruslauseesta.
https://fi.wikipedia.org/wiki/Aritmetiikan_peruslause
>En tiedä, sopiiko tähän sana kombinaatio, vai mieluummin permutaatio.
Kombinaatioista, koska kuten ylläolevassa wikipedia-artikkelissakin sanotaan, kertolasku on kommutatiivinen.
>tai jos matematiikka lähenee ATK:ta, niin iteraatiolla, algoritmilla, rekursiolla...
On keksitty jo lukuisia tapoja laskea mahdollisimman nopeasti alkulukuja. Jos englanti taipuu niin https://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Atkin on niinkin uusi kuin vuodelta 2003.Mainiota että tuolta jälkimmäiseltä Wikipedia-sivulta löytyi linkkiä Atkinin ja Bernsteinin itsensä PDF-tiedostoon aiheesta. Kiitoksia. Näyttää kyllä matemaattisemmalta kuin itse tekemäni alkulukujen etsintäohjelmat eri menetelmillä, mutta loogisen näköistä. Muistui mieleen, millaisilla välineillä isoäiti valmisti ruokaa. Oli monenlaisia myllyjä, sihtejä ja siivilöitä ja vempaimia.
Riemann-aiheeseen liittyvää selitystä:
http://mathworld.wolfram.com/RiemannPrimeCountingFunction.html
https://www.quora.com/What-is-the-relationship-between-the-Riemann-Hypothesis-and-prime-numbers
- Modulaariaritmetiikasta
Kannattaa katsoa http://matematiikkakilpailut.fi/kirjallisuus/laajalukuteoriamoniste.pdf
Siitä löytyy alkeellinen johdatus alkulukuihin.
Materiaalissa esitetään muun muassa Wilsonin lause, jonka mukaan p on alkuluku jos ja vain jos
(p-1)!=1*2*3*...*(p-1)=-1 mod p.
Esimerkiksi jos p=2
(2-1)!=1=2*1-1
jos p=7
(7-1)!=1*2*3*4*5*6=103*7-1
jos p=11
10!=329891*11-1.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Epäily: Oppilas puukotti kolmea Pirkkalan koululla
Tämänhetkisen tiedon mukaan ainakin kolme oppilasta on loukkaantunut puukotuksessa Pirkkalan Vähäjärven koululla. Myös e3168075Jos yhdistät nimikirjaimet
Jos yhdistät sinun ja kaivattusi ensimmäisten nimien alkukirjaimet mitkä nimikirjaimet tulee? Sinun ensin ja sitten häne976299Jos olisit täällä
Tosin en tiiä miks oisit. (Ja hävettää muutenkin kun ei muka muulla tavoin osaa kertoa tätäkään) Jos jollain pienellä1743644Kyllä se taitaa olla nyt näin
Minusta tuntuu et joku lyö nyt kapuloita rattaisiin että meidän välit menisi lopullisesti. Sinä halusit että tämä menee352259- 392133
Odotan että sanot
Sitten siinä että haluaisit vielä jutella kahdestaan kanssani ja sitten kerrot hellästi että sinulla on ollut vaikea san222126- 622112
Pirkkalan koulussa puukotus, oppilas puukotti kolmea
Ilmeisesti tyttöjä ollut kohteena.1962004- 831857
- 481565