kertausta opintoihin

"Kahden luvun summa on 80. Määrittele luvut niin, että niiden tulo olisi mahdollisimman suuri."

Pitäisi olla ilmeistä, että luvut on 40 ja 40. Tämä siksi, että neliön pinta-alan suhde ympärysmittaan on välttämättä suurempi kuin minkään muun suorakaiteen.

Mutta jos tämä ei kelpaa vaan tehtävä pitää oikeasti laskea, niin:

Olkoon toinen luku x. Tällöin toinen on 80-x. Haemme funktion f(x) = x(80-x) suurinta mahdollista arvoa.

f(x) = -x^2 80x
Derivoidaan:
f'(x) = -2x 80
Etsitään derivaatan nollakohta:
-2x 80 = 0 x = 40
Tarkistetaan toisen derivaatan merkki (derivaatan nollakohdassa):
f''(x) = -2, derivaatan nollakohta on siis maksimi

x=40 on siis maksimi. Toinen luku on tällöin 80-x=40.

"Osoita että funktio f (x) = -2x^2 x-2 saa vain negatiivisia arvoja"

Derivoidaan:
f'(x) = -4x 1
Etsitään derivaatan nollakohta:
-4x 1 = 0 x = 1/4
Tutkitaan funktion arvo derivaatan nollakohdassa:
-2*(1/4)^2 1/4-2 = -15/8, on negatiivinen
Tarkistetaan toisen derivaatan merkki (derivaatan nollakohdassa):
f''(x) = -4, derivaatan nollakohta on siis maksimi

"Osoita että funktio f (x) = -2x^2 x-2 saa vain negatiivisia arvoja"

Toinen, ehkäpä helpompi tapa:

Etsitään mahdollinen nollakohta:
-2x^2 x-2 = 0
Diskriminantti on 1^2-4(-2)(-2) = -15 < 0, nollakohtaa ei siis ole.
Lasketaan funktion arvo mielivaltaisessa pisteessä, esim. x=0:
f(0)=-2.
Funtkio saa siis vain negatiivisia arvoja.

"Osoita että funktio f (x) = -2x^2 x-2 saa vain negatiivisia arvoja"
Tämä seuraa siitä, että -2x^2 x-2=-2(x-1/4)^2-15/8.

IHMISTEN PUOLUE!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Lyhyen matematiikan oppimäärään ei taida kuulua korkeampia derivaattoja, joten tässä toinen tapa:
f(x)=-x^2 80x [Dx^n=n*x^(n-1)]
f´(x)=-2x 80 [y=kx b]
Derivaatan kuvaaja on laskeva suora (kulmakerroin on negatiivinen).
Näistä tiedoista voidaan muodostaa funktion kulkukaavio, ja todeta, että funktiolla on maksimi kun x=40.

Menisihän tuo ensimmäinen ihan näinkin:

Tulon kaava on f(x) = x(80-x) = -x^2 80 x. Tämä on alaspäin aukeava paraabeli, jonka nollakohdat on 0 ja 80. Paraabelin huippu on nollakohtien puolivälissä, joten x = 40.

Olen kyllä edelleen sitä mieltä, että tämän pitäisi olla ilmeistä ilman mitään laskemista.

Täällä on vähän samanlainen ongelma

olkoon f(x)= 5x^3 4x^2 x-12 määritä

f(-2)
f ' (-2)
milloin f ' (x) = 0

Vaikealta tuntuu vaikka yritän ymmärtää tuon edellisen mallin perusteella

Olkoon G (a) = a^6 5a^3-4a^2

a) g (-3)
b) g ' (-1)
c) g ' (a)

"Kahden luvun summa on 80. Määrittele luvut niin, että niiden tulo olisi mahdollisimman suuri."

Eräs ratkaisu perustuu AM-GM-epäyhtälöön. Voidaan olettaa, että luvut ovat positiivisia (harjoitustehtävä, miksi näin voidan tehdä). Tällöin lukujen x ja 80-x aritmeettis-geometrinen epäyhtälö antaa
sqrt(x(80-x))