kertausta opintoihin

kertausta opintoihin

Kahden luvun summa on 80. Määrittele luvut niin, että niiden tulo olisi mahdollisimman suuri.

Osoita että funktio f (x) = -2x^2 x-2 saa vain negatiivisia arvoja

13

247

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • yksi vain

      "Kahden luvun summa on 80. Määrittele luvut niin, että niiden tulo olisi mahdollisimman suuri."

      Pitäisi olla ilmeistä, että luvut on 40 ja 40. Tämä siksi, että neliön pinta-alan suhde ympärysmittaan on välttämättä suurempi kuin minkään muun suorakaiteen.

      Mutta jos tämä ei kelpaa vaan tehtävä pitää oikeasti laskea, niin:

      Olkoon toinen luku x. Tällöin toinen on 80-x. Haemme funktion f(x) = x(80-x) suurinta mahdollista arvoa.

      f(x) = -x^2 80x
      Derivoidaan:
      f'(x) = -2x 80
      Etsitään derivaatan nollakohta:
      -2x 80 = 0 x = 40
      Tarkistetaan toisen derivaatan merkki (derivaatan nollakohdassa):
      f''(x) = -2, derivaatan nollakohta on siis maksimi

      x=40 on siis maksimi. Toinen luku on tällöin 80-x=40.

      "Osoita että funktio f (x) = -2x^2 x-2 saa vain negatiivisia arvoja"

      Derivoidaan:
      f'(x) = -4x 1
      Etsitään derivaatan nollakohta:
      -4x 1 = 0 x = 1/4
      Tutkitaan funktion arvo derivaatan nollakohdassa:
      -2*(1/4)^2 1/4-2 = -15/8, on negatiivinen
      Tarkistetaan toisen derivaatan merkki (derivaatan nollakohdassa):
      f''(x) = -4, derivaatan nollakohta on siis maksimi

    • yksi vain

      "Osoita että funktio f (x) = -2x^2 x-2 saa vain negatiivisia arvoja"

      Toinen, ehkäpä helpompi tapa:

      Etsitään mahdollinen nollakohta:
      -2x^2 x-2 = 0
      Diskriminantti on 1^2-4(-2)(-2) = -15 < 0, nollakohtaa ei siis ole.
      Lasketaan funktion arvo mielivaltaisessa pisteessä, esim. x=0:
      f(0)=-2.
      Funtkio saa siis vain negatiivisia arvoja.

    • jokulaskija

      "Osoita että funktio f (x) = -2x^2 x-2 saa vain negatiivisia arvoja"
      Tämä seuraa siitä, että -2x^2 x-2=-2(x-1/4)^2-15/8.

      • yksi vain

        Heh, totta tuokin.

        Itse en kyllä suoraan annetusta funktiosta näkisi tuota muotoa, laskematta ensin derivaatan nollakohtaa ja funktion arvoa nollakohdassa...


      • jokulaskija
        yksi vain kirjoitti:

        Heh, totta tuokin.

        Itse en kyllä suoraan annetusta funktiosta näkisi tuota muotoa, laskematta ensin derivaatan nollakohtaa ja funktion arvoa nollakohdassa...

        En minäkään nähnyt suoraan, mutta neliöksi täydentäminen opetetaan lukion alussa. Toivottavasti alkuperäinen kirjoittaja osaa täydentää välivaiheet.


    • TAPSA RIIHIMÄKI

      IHMISTEN PUOLUE!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    • Tripla D

      Lyhyen matematiikan oppimäärään ei taida kuulua korkeampia derivaattoja, joten tässä toinen tapa:
      f(x)=-x^2 80x [Dx^n=n*x^(n-1)]
      f´(x)=-2x 80 [y=kx b]
      Derivaatan kuvaaja on laskeva suora (kulmakerroin on negatiivinen).
      Näistä tiedoista voidaan muodostaa funktion kulkukaavio, ja todeta, että funktiolla on maksimi kun x=40.

    • yksi vain

      Menisihän tuo ensimmäinen ihan näinkin:

      Tulon kaava on f(x) = x(80-x) = -x^2 80 x. Tämä on alaspäin aukeava paraabeli, jonka nollakohdat on 0 ja 80. Paraabelin huippu on nollakohtien puolivälissä, joten x = 40.

      Olen kyllä edelleen sitä mieltä, että tämän pitäisi olla ilmeistä ilman mitään laskemista.

    • moneen junaan

      Täällä on vähän samanlainen ongelma

      olkoon f(x)= 5x^3 4x^2 x-12 määritä

      f(-2)
      f ' (-2)
      milloin f ' (x) = 0

      • Dx^n=n*x^(n-1)

        f(x)=5x³ 4x² x-12
        f´(x)=15x² 8x 1
        f(-2)=5*(-2)³ 4*(-2)² (-2)-12=-38
        f´(-2)=15*(-2)² 8*(-2) 1=45
        15x² 8x 1=0
        Ratkaisukaavalla saadaan, että x=-1/5 tai x=-1/3


    • eiotetta

      Vaikealta tuntuu vaikka yritän ymmärtää tuon edellisen mallin perusteella

      Olkoon G (a) = a^6 5a^3-4a^2

      a) g (-3)
      b) g ' (-1)
      c) g ' (a)

      • Derivaatta

        g(a)=a^6 5a^3-4a^2
        Dx^n=n*x^(n-1) ja Dc=0 (c on vakio)
        Siirrä siis vain eksponentti kertoimeksi ja sitten vähennät siitä yhden. Vakio derivoituu nollaksi. Jos osaat nuo asiat, pystyt derivoimaan jokaisen polynomifunktion.
        g´(a)=6a^5 15a^2-8a

        a) g(-3)=(-3)^6 5*(-3)^3-4*(-3)^2=558
        b) g´(-1)=6*(-1)^5 15*(-1)^2-8*(-1)=17
        c) g´(a)=6a^5 15a^2-8a


    • exkilpailumatikisti

      "Kahden luvun summa on 80. Määrittele luvut niin, että niiden tulo olisi mahdollisimman suuri."

      Eräs ratkaisu perustuu AM-GM-epäyhtälöön. Voidaan olettaa, että luvut ovat positiivisia (harjoitustehtävä, miksi näin voidan tehdä). Tällöin lukujen x ja 80-x aritmeettis-geometrinen epäyhtälö antaa
      sqrt(x(80-x))

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Mihin Ilkka Kanerva kuoli?

      Kun näin jokin aika sitten kuvan riutuneen näköisestä Kanervasta, sanoin vaimolle että haimasyövältä vaikuttaa. Vaimon isä oli kuollut kyseiseen tauti
      Maailman menoa
      265
      17118
    2. Oho! Susanna Laine uudessa hiustyylissä - Julkkismeikkaajalta tiukka palaute: "Ihan sama..."

      Ex-Salkkarit tähti ja juontaja Susanna Laine on monessa mukana. Ex-missi tunnetaan pitkistä, vaaleista hiuksistaan . Mitäs tykkäät uudesta hiustyylist
      Kotimaiset julkkisjuorut
      23
      5517
    3. Ilkka kanerva

      Ilkka Kanerva kuollut 74v
      Turku
      115
      2592
    4. Yllätyspaljastus: Poppari Robin Packalen kiittää urastaan iskelmätähti Juha Tapiota: "Jos mä en..."

      Oi, mikä tarina. Juha Tapio ja Robin ovat kyllä symppiksiä molemmat. Kumpi heistä on suosikkisi? https://www.suomi24.fi/viihde/yllatyspaljastus-poppar
      Kotimaiset julkkisjuorut
      15
      2076
    5. Venäjän lippulaiva Moskva upotettu Mustallamerellä

      Venäjän laivaston lippulaiva Mustalalmerellä on 180 m pituinen, Neuvostoliiton aikana rakennettu Moskva-niminen risteilijä. Ukraina ilmoitti eilen saa
      Maailman menoa
      336
      1775
    6. Pikkaraiskan puhelut

      Mitä tuo jätkä hakee sillä että julkaisee kuinka kauan on puhunut puhelimessa? Tekee itsestään vieläkin idiootimman tuolla vai mikä tää juttu?
      Kotimaiset julkkisjuorut
      111
      1007
    7. Ilkka Kanerva on kuollut

      74-vuotiaana.
      Maailman menoa
      59
      959
    8. Sofia Belorf ja Sonja Aiello

      Viihtyvät yhdessä dinnerillä. Pienet piirit. Mitä ajatuksia herättää ?
      Kotimaiset julkkisjuorut
      45
      899
    9. Hossein Najaf juotti lapset humalaan ja käytti häikäilemättä hyväkseen

      Keski-Suomen käräjäoikeus on tuominnut 60-vuotiaan Hossein Najafin neljän vuoden vankeusrangaistukseen. Ensimmäisen tytön kanssa hän oli useita kerto
      Maailman menoa
      32
      897
    Aihe