Kahden luvun summa on 80. Määrittele luvut niin, että niiden tulo olisi mahdollisimman suuri.
Osoita että funktio f (x) = -2x^2 x-2 saa vain negatiivisia arvoja
Osoita että funktio f (x) = -2x^2 x-2 saa vain negatiivisia arvoja
kertausta opintoihin
kertausta opintoihin
13336
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 13
Vanhimmat
"Kahden luvun summa on 80. Määrittele luvut niin, että niiden tulo olisi mahdollisimman suuri."
Pitäisi olla ilmeistä, että luvut on 40 ja 40. Tämä siksi, että neliön pinta-alan suhde ympärysmittaan on välttämättä suurempi kuin minkään muun suorakaiteen.
Mutta jos tämä ei kelpaa vaan tehtävä pitää oikeasti laskea, niin:
Olkoon toinen luku x. Tällöin toinen on 80-x. Haemme funktion f(x) = x(80-x) suurinta mahdollista arvoa.
f(x) = -x^2 80x
Derivoidaan:
f'(x) = -2x 80
Etsitään derivaatan nollakohta:
-2x 80 = 0 x = 40
Tarkistetaan toisen derivaatan merkki (derivaatan nollakohdassa):
f''(x) = -2, derivaatan nollakohta on siis maksimi
x=40 on siis maksimi. Toinen luku on tällöin 80-x=40.
"Osoita että funktio f (x) = -2x^2 x-2 saa vain negatiivisia arvoja"
Derivoidaan:
f'(x) = -4x 1
Etsitään derivaatan nollakohta:
-4x 1 = 0 x = 1/4
Tutkitaan funktion arvo derivaatan nollakohdassa:
-2*(1/4)^2 1/4-2 = -15/8, on negatiivinen
Tarkistetaan toisen derivaatan merkki (derivaatan nollakohdassa):
f''(x) = -4, derivaatan nollakohta on siis maksimi
"Osoita että funktio f (x) = -2x^2 x-2 saa vain negatiivisia arvoja"
Toinen, ehkäpä helpompi tapa:
Etsitään mahdollinen nollakohta:
-2x^2 x-2 = 0
Diskriminantti on 1^2-4(-2)(-2) = -15 < 0, nollakohtaa ei siis ole.
Lasketaan funktion arvo mielivaltaisessa pisteessä, esim. x=0:
f(0)=-2.
Funtkio saa siis vain negatiivisia arvoja.
"Osoita että funktio f (x) = -2x^2 x-2 saa vain negatiivisia arvoja"
Tämä seuraa siitä, että -2x^2 x-2=-2(x-1/4)^2-15/8.
Heh, totta tuokin.
Itse en kyllä suoraan annetusta funktiosta näkisi tuota muotoa, laskematta ensin derivaatan nollakohtaa ja funktion arvoa nollakohdassa...
En minäkään nähnyt suoraan, mutta neliöksi täydentäminen opetetaan lukion alussa. Toivottavasti alkuperäinen kirjoittaja osaa täydentää välivaiheet.
IHMISTEN PUOLUE!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Lyhyen matematiikan oppimäärään ei taida kuulua korkeampia derivaattoja, joten tässä toinen tapa:
f(x)=-x^2 80x [Dx^n=n*x^(n-1)]
f´(x)=-2x 80 [y=kx b]
Derivaatan kuvaaja on laskeva suora (kulmakerroin on negatiivinen).
Näistä tiedoista voidaan muodostaa funktion kulkukaavio, ja todeta, että funktiolla on maksimi kun x=40.
Menisihän tuo ensimmäinen ihan näinkin:
Tulon kaava on f(x) = x(80-x) = -x^2 80 x. Tämä on alaspäin aukeava paraabeli, jonka nollakohdat on 0 ja 80. Paraabelin huippu on nollakohtien puolivälissä, joten x = 40.
Olen kyllä edelleen sitä mieltä, että tämän pitäisi olla ilmeistä ilman mitään laskemista.
Täällä on vähän samanlainen ongelma
olkoon f(x)= 5x^3 4x^2 x-12 määritä
f(-2)
f ' (-2)
milloin f ' (x) = 0
f(x)=5x³ 4x² x-12
f´(x)=15x² 8x 1
f(-2)=5*(-2)³ 4*(-2)² (-2)-12=-38
f´(-2)=15*(-2)² 8*(-2) 1=45
15x² 8x 1=0
Ratkaisukaavalla saadaan, että x=-1/5 tai x=-1/3
Vaikealta tuntuu vaikka yritän ymmärtää tuon edellisen mallin perusteella
Olkoon G (a) = a^6 5a^3-4a^2
a) g (-3)
b) g ' (-1)
c) g ' (a)
g(a)=a^6 5a^3-4a^2
Dx^n=n*x^(n-1) ja Dc=0 (c on vakio)
Siirrä siis vain eksponentti kertoimeksi ja sitten vähennät siitä yhden. Vakio derivoituu nollaksi. Jos osaat nuo asiat, pystyt derivoimaan jokaisen polynomifunktion.
g´(a)=6a^5 15a^2-8a
a) g(-3)=(-3)^6 5*(-3)^3-4*(-3)^2=558
b) g´(-1)=6*(-1)^5 15*(-1)^2-8*(-1)=17
c) g´(a)=6a^5 15a^2-8a
"Kahden luvun summa on 80. Määrittele luvut niin, että niiden tulo olisi mahdollisimman suuri."
Eräs ratkaisu perustuu AM-GM-epäyhtälöön. Voidaan olettaa, että luvut ovat positiivisia (harjoitustehtävä, miksi näin voidan tehdä). Tällöin lukujen x ja 80-x aritmeettis-geometrinen epäyhtälö antaa
sqrt(x(80-x))