Hienoa, että tällainen palsta saatiin käyntiin, eiköhän tämä tästä matematisoidu pienen alkuköhän jälkeen. Seuraava ongelma oli tämän vuoden matikan pääsykokeissa ja ainakin minulta jäi ko. tehtävä räpeltelyksi, ehkä joku täällä osaisi sen ratkaistakin:
Ympyrän sisään asetetaan säännöllinen n-kulmio. Laske n-kulmion piirin ja ympyrän halkaisijan välinen suhde. Määritä tämän suhteen raja-arvo, kun n lähestyy ääretöntä (tulos (sin x) / x = 1 oletetaan tunnetuksi).
Muotoilu ei ole välttämättä ihan sama kuin alkuperäisessä. Raja-arvoksi taitaa tulla pii, kun n-kulmion kulmat pyöristyvät, mutta tuo alun konstruktio jäi hämäräksi.
Ympyrän sisään asetetaan säännöllinen n-kulmio. Laske n-kulmion piirin ja ympyrän halkaisijan välinen suhde. Määritä tämän suhteen raja-arvo, kun n lähestyy ääretöntä (tulos (sin x) / x = 1 oletetaan tunnetuksi).
Muotoilu ei ole välttämättä ihan sama kuin alkuperäisessä. Raja-arvoksi taitaa tulla pii, kun n-kulmion kulmat pyöristyvät, mutta tuo alun konstruktio jäi hämäräksi.
Vastaukset 3
Vanhimmat
Niin, siis tulos, joka oletettiin tunnetuksi oli tietysti tuon lausekkeen raja-arvo x:n lähestyessä nollaa.
Olkoon ympyrän säde r. Säännöllinen n-kulmio voidaan jakaa n-kappaleeksi tasakylkisiä kolmioita joiden jokaisen huippukulma on 2pii/n ja joiden kylkien pituus on ympyrän säde, olkoon se r. Olkoon tasakylkisen kolmion kanta 2d. Huippukulman puolikas on siis pii/n ja sen sini on sin(pii/n)=d/r joten d=r*sin(pii/n). Yhteensä koko piirin pituus on siis 2*n*r*sin(pii/n)=2nr*sin(pii/n) eli sen suhde ympyrän halkaisijaan 2r on n*sin(pii/n). Raja-arvo saadaan laskettua muuttamalla tuo muotoon: sin(pii/n)/(1/n) = pii*sin(pii/n)/(pii/n) ja koska sinx/x->1 kun x->0 ja pii/n->0 kun n->ääretön, eli suhde pii*sin(pii/n)/(pii/n) -> pii*1 = pii kun n->ääretön.
Haa, loksahtihan tuokin sitten kohdalleen. Kiitoksia avusta.