alkeellinen topologia kysymys

Jokainen äärellinen joukko on suljettu.

X = joukko jossa on alkiot a,b,c ja d
t on X:n alkioiden osajoukkojen kokoelma {},{a,b,c,d} {a,b,c} {a,b,d} {a,b}

Nyt pari (X,t) on siis topologia. Topologian (X,t) t:n alkioita siis joukkoja sanotaan avoimiksi. Tämä on määritelmä, ja nimeäminen, nämä ovat ne avoimet joukot mitä on. Huomaa, että mikä tahansa osajoukkojen joukko ei voi olla topologia, vaan sen pitää täyttää ne tietyt ehdot kts. wikipedia

Joukko on suljettu jos se sisältää kasautumispisteensä.
Edelleen, alkio y on joukon Y kasautumispiste, jos jokainen avoin joukko B joka sisältää y:n sisältää myös toisen Y.n pisteen. (tietty topologia)

Nyt c on joukon {a,b} kasatumispiste, sillä jokainen avoin joukko joka sisältää c:n sisältää myös a:n tai b:n (nyt molemmat). Siis {a,b} ei ole suljettu topologiassa (X,t).

Kyllä. Hienoa! Minä uskallan jatkaa taas topologian opiskelua.

Tämä on niin monimutkainen lause minulle, että tämä ei mahdu minun päähän kokonaan samaan aikaan.
Wikipedia:"Let S be a subset of a topological space X. A point x in X is a limit point of S if every open set containing x contains at least one point of S different from x itself."

Tässä ketjussa tuo väite, että jokainen äärellinen joukko on suljettu, on hyvä esimerkki siitä kuinka harvoin otetaan kantaa topologiaan. Tuo väite pätee kyllä hienosti, jos meillä on esimerkiksi reaaliluvut perinteisellä topologialla, mutta nyt anetussa esimerkissä ei tilanne ollut tämä.

Hyvä lause sinulle.
Olkoon (X,T) topologia, jossa X on perusjoukko, ja T kokoelma X:n osajoukkoja, siten että topologian vaatimukset täyttyy.
Nyt joukko U on avoin topologiassa, joss U kuuluu T:hen.

Tämä ei vaadi mitään todistusta eikä ole mikään oikea lause, vaan pikemminkin oikea tulkinta määritelmälle. Siis antamasi esimerkin avoimet joukot ovat vain nuo {},{abcd} {abc} {abd} {ab}. Otin tämän esille, koska näytti siltä ettet ollut sisäistänyt tätä.



Sitten tuo lauseesi:
-vapaasti tulkattuna
x on joukon S kasautumispiste, jos jokainen alkion x sisältämä avoin joukko
sisältää myös toisen joukon S alkion. Eli kaikki joukot jossa on c sisältävät myös a:n ja c:n on oltava kasautumispiste, mutta se ei kuulu joukkoon {a,b} siis se ei ole suljettu (Tässä topologiassa)