Olkoon x kymmenjärjestelmässä kirjoitettu positiivinen kokonaisluku. Jos x:n 10-järjestelmän pituus on a, niin kuinka pitkä on laskutoimituksen x^x tuloksen pituus, eli montako numeroa siinä korkeintaan/vähintään on?
x^x:n pituus
veijo potenssi
4113
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 4
Vanhimmat
Oletetaan ensiksi, että luku alkaa nollasta eroavalla numerolla.
Tarkastellaan ääritapauksia:
Luku on muotoa 10000.... Jos siinä on x numeroa, on sen arvo 10^{x-1} ja sen neliö on 10^{2x - 2}, jossa on 1 ja 2x-2 nollaa. Näin luvun neiössä on 2x-1 numeroa.
Olkoon sitten luku muotoa 9999...., jossa on x kpl 9-numeroita. Se voidaan panna muotoon 10^x - 1.
(10^x - 1)^2 = 10^{2x} - 2*10^x 1, joka on pienempi kuin 10^{2x}, kun x >= 0.
10*{2x} on pienin luku, joka tarvitsee 2x 1 numeroa. Niinpä (10^x -1)^2 tarvitsee enintään 2x numeroa.
Pienin luku, johon tarvitaan 2x numeroa on 10^{2x-1}. Tämä on
pienempi kuin (10^x - 1)^2, sillä erotus
(10^x - 1)^2 - 10^{2x-1} = 9*10^{2x-1} - 2*10^x 1 = 10^x(9*10^{x-1} - 2) 1,
joka on postiivinen, kun x >= 1.
Täten lukuun (10^x - 1)^2 tarvitaan tarkalleen 2x numeroa.
x-numeroisen luvun neliöön tarvitaan näin ollen 2x-1 tai 2x numeroa. Herää tietysti kysymys mikä on suurin x-numeroinen luku, jonka neliössä on 2x-1 numeroa, mutta jätämme sen harjoitustehtäväksi ;-)
Harjoitustehtäväksi voimme jättää myös lukemaan opettelun. Kysyjä ei ollut kiinnostunut lukujen neliöistä vaan luvusta korotettuna itsensä potenssiin
X^X
Koska X=10^(10^a) eli luvussa on vähintään
10^a nroa. Eli suuruusluokka on n. 10^a nroa.
Positiivisella kokonaisluvulla x suoritetun laskutoimituksen x^x tulos on aina vähintään yhden numeron mittainen. Sijoitetaan x=1 jolloin x^x=1. Tuloksen pituus siis voi olla myös yhden merkin mittainen. Näin on alaraja saatu.
Kokonaislukuja on määritelmänsä mukaan ääretön määrä. Positiivisella kokonaisluvulla suoritetun laskutoimituksen x^x tulos on aina vähintään x ja näin ollen tuloksen pituus ei voi olla lyhyempi kuin x. Tästä seuraa että yläraja on ääretön.
Eli siinä on vähintään 1 numero ja korkeintaan ääretön numeroa.
Ei vaan unohtakaa koko juttu, en lukenut kysymystä ja höpötin ihan toisesta asiasta.