Elikkä olen aina loogisesti ajatellut että ilmanvastukseen ei vaikuta kuin nopeus, muoto ja pinta-ala sekä tietysti vastusaineet ominaisuudet. Mutta fysiikan YO:ssa oli tehtävä:
Tila-auton jarrujen testissä autoa ajettiin tyhjänä ja täyteen lastattuna vaakasuoralla tiellä nopeudella 65 km/h. Auto pysäytettiin lukkojarrutuksella. Renkaiden ja tien välinen kitkakerroin
oli 0,60. Auton massa oli 1 250 kg ja täyteen lastatun auton 1 870 kg.
a) Laske auton jarrutusmatkat olettaen, että ilmanvastusta ei ole.
b) Kummassa tapauksessa jarrutusmatka oli pitempi, jos ilmanvastus otetaan huomioon?
Josta siis a-kohdasta selvisi että autot pysähtyvät yhtä aikaa, sillä liukukitkakin lisääntyy tukivoiman kasvaessa. Mutta b-kohtaan vastaus oli, että suurempimassainen auto pysähtyy hitaammin ilmanvastus huomioon ottaessa. Mutta millä logiikalla käytännössä?! tähän vastaukseen oli päädytty johtamalla kaava jossa termi Fvastus/massa.
Tila-auton jarrujen testissä autoa ajettiin tyhjänä ja täyteen lastattuna vaakasuoralla tiellä nopeudella 65 km/h. Auto pysäytettiin lukkojarrutuksella. Renkaiden ja tien välinen kitkakerroin
oli 0,60. Auton massa oli 1 250 kg ja täyteen lastatun auton 1 870 kg.
a) Laske auton jarrutusmatkat olettaen, että ilmanvastusta ei ole.
b) Kummassa tapauksessa jarrutusmatka oli pitempi, jos ilmanvastus otetaan huomioon?
Josta siis a-kohdasta selvisi että autot pysähtyvät yhtä aikaa, sillä liukukitkakin lisääntyy tukivoiman kasvaessa. Mutta b-kohtaan vastaus oli, että suurempimassainen auto pysähtyy hitaammin ilmanvastus huomioon ottaessa. Mutta millä logiikalla käytännössä?! tähän vastaukseen oli päädytty johtamalla kaava jossa termi Fvastus/massa.
Vastaukset 6
Vanhimmat
Se kai tulee tällaisesta hieman harvinaisemmasta kaavasta kuin
F = m*a !
Jarrutettaessa jarruvoima kasvaa auton massan kasvaessa. Ilmanvastus taas ei ole massasta riippuva, vaan vaikuttaa vakiovoimalla. Ilmanvastus huomioiden autoon vaikuttaa kaksi jarruttavaa voimaa. Toinen lisääntyy massan kasvaessa samassa suhteessa kuin liie-energia, toinen taas ei lisäänny. Siinä se selitys.
Autohan hidastuu Newtonin II:sen mukaan, eli a=F/m. a-kohdassa auton nopeutta hidastaa kitkavoima F=-μmg, joten a=-μg, eikä jarrutusmatka siis riipu massasta.
Ilmanvastusvoima on muotoa F=-α*v^2, missä α on vakio sisältäen mainitsemasi muotoon, pinta-alaan ja vastusaineeseen liittyvät ominaisuudet, jotka ovat siis tehtävän tilanteessa vakioita. Nyt autoa hidastaa sekä kitka- että ilmanvastusvoima, joten saadaan a=-(μg α*v^2/m). Tästä nähdään että suurempi massa aiheuttaa pienemmän hidastuvuuden ja siten pidemmän jarrutusmatkan.
Tehtävä pitää ratkaista jo heti alusta lähtien energiaperiaatteella:
½mVo^2=(myy*mg*s) W, jossa W on ilmanvastuksen voittamiseen tarvittava työ.
a) kohdassa W=0, joten jarrutusmatka s ei riipu massasta, ja s saadaan helposti.
b) kohdassa oletetaan nyt aluksi, että raskaamman jarrutusmatka on pitempi.
Nyt tuo ilmanvastustyö riippuu ainoastaan nopeudesta , koska on sama auto. Lisäksi , koska topataan samasta nopeudesta Vo, niin ilmanvastustyö on molemmille autoille sama, raskaalle ja kevyelle, eikä riipu siis massasta.
Nyt kun lasketaan raskaamman ja kevyemmän auton jarrutusmatkojen erotus ja , jos se on positiivinen, niin raskaamman jarrutusmatka on pitempi.
Tässähän m(r)=3m(k)/2, joten tuo erotus on W/(3myy*g*m), joka on varmasti positiivinen, eli raskaamman jarrutusmatka on pitempi.
Tu väite, että ilmanvastustyö on molemmille autoille sama, vaikuttaa niin järjettömältä, että täytyy oikein laskea.
m*dv/dt=(-µ*mg)-(k*v²), josta dv/dt=-k/m*((µmg/k)) v²)
Merkitään A=-k/m, ja B²=µmg/k, joten
dv/dt=A(v² B²), ja muuttujat erottamalla: dv/(v² B²)=A*dt
Puolittain integroimalla: Arctan(v/B)/B=(At) C, josta v(t)=B*tan((A*B*t) D) (D=B*C)
Saman tien integroimalla: s(t)=(-ln(cos((A*B*t) D))/A) E
Käytetään auton poikkipinnan ala on 3 m², ja muotokerroin 0,7, ja ilman tiheys 1,2 kg/m³
k= 0,5*1,2*3*0,7=1,26 (molemmille autoille sama)
Kevyelle autolle: m=1250 kg, joten A=-0,001 ja B=76,415
v(0= 18,056, joten 76,415*tan(D)=18,056, joten D=0,232
v(t)=76,415*tan(0,232-(0,076415*t))
v(t)=0=>t=3,0364 s = jarrutusaika
s(t)=(-ln(cos(0,232-(0,076415*t))/(-0,001)) E
s(0)=0, joten E= 27,157 m=myös samalla jarrutusmatka
Raskaalle autolle: m=1870 kg, joten A=-6,378/10000, ja B=93,464
v(0)=18,056, joten 93,464*tan(D)=18,056=>D=0,1908
v(t)=93,464*tan(0,1908-(0,0596*t))
v(t)=0=>t=3,2013 s
s(t)=(-ln(cos(0,1908-(0,0596*t))/(-0,0006378)) E
s(0)=0, joten E=28,714 m= samalla myös jarrutusmatka
Lasketaan sitten ilmanvastustyöt:
Kevyelle W=( 0,5*1250*(650/36)²)-(0,6*1250*g*27,157)=203752-199808=3,9 kJ
Raskaalle W=(0,5*1870*(650/36)²-(0,6*1870*g*28,714)=304813-316050=-11,2 kJ
Aika yllättävä tulos. Autojen pysähdysmatkat ja -ajat vaikuttavat oikeilta, mutta ilmanvastustyöt ei.
Mitä tästä nyt jäi käteen. Liike-energian kaavalla W=½mv² ei ilmeisesti saada oikeita tuloksia, jos kiihtyvyys ei ole tasainen, tai sitten yksinkertaisempi selitys: laskuvirhe.
Energiaperiaatteella onkin laskettava ilmeisesti näin:
(½*mv²) (k*v²*s)=(µ*mg*s) W
Jos autoa ei jarrutettaisi lainkaan, niin matkalla s se vaatisi energiaa: liike-energia ilmanvastustyö matkalla s. Kun se kuitenkin pysäytetään matkalla s, niin kitkatyön ja ilmanvastuksen hidastuvan liikkeen aikana (W), on hoideltava tuo kokonaisenergia. Sillä ainakin päästään positiivisiin ilmanvastustyön arvoihin (15 kJ (kevyt) ja 0,6 kJ)