Kappaleeseen vaikuttava voima riippuu nopeudesta ja paikasta seuraavasti:
F = kvx, k > 0
Siis v ja x ovat tuntemattomia ajan funktioita.
Kappale ohittaa origon hetkellä t = 0 nopeudella v = v0.
Miten ratkaistaan x = x(t) ?
Olen miettinyt tätä ihan tautisesti eikä mitään edistystä ole tapahtunut.
F = kvx, k > 0
Siis v ja x ovat tuntemattomia ajan funktioita.
Kappale ohittaa origon hetkellä t = 0 nopeudella v = v0.
Miten ratkaistaan x = x(t) ?
Olen miettinyt tätä ihan tautisesti eikä mitään edistystä ole tapahtunut.
Vastaukset 9
Vanhimmat
F = m a
a = d^2x/dt^2
v = dx/dt
Kyllä, mutta tuo differentiaaliyhtälö on aikas vaikea. Olen yrittänyt myös kirjoittaa
dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx ja saanut muodon
x(t) = (m/k) dv/dx, mutta se nyt ei ole suoraan t:n funktio.
Kappale kääntyy origossa 90 astetta, eli x on vakio
Differentiaaliyhtälön
m⋅∂²x(t)/∂t² = k⋅x(t)⋅∂x(t)/∂dt
ratkaisu alkuehdoilla x(0) = 0 ja ∂x(0)/∂dt = v0 on
x(t) = tan((1/2)⋅t⋅√(v0⋅m⋅k)⋅√(2)/m)⋅√(v0⋅m⋅k)⋅√(2)/k.
Tällaista differentiaaliyhtälöä voisi rääpiä näin:
m/k*x''=x*x', integroidaan puolittain m/k*x'=int(x*x') C
Osittaisintegroinnilla: int(x*x')=x^2-int(x'*x)=>int(x*x')=½*x^2, joten
m/k*x'=(½*x^2) C
x'(0)=Vo=>C=m/k*Vo, mutta ei sotketa sitä vielä mihinkään
Erotetaan muuttujat: dx/(½x^2 C)=k/m*dt, eli dx/(x^2 2C)=(k/2m)*dt.
Merkitään 2C=D^2, jolloin dx/(x^2 D^2)=(k/2m)*dt
Integrointitaulukoista: arctan(x/D)=(D*k/(2m)*t) E. X(0)=0=> E=0
x/D=tan(D*k/2m*t)=>x(t)=D*tan(D*k/(2m)*t), jossa D=sqrt(2C), missä C=m/k*Vo
'
Siinä on sulkuja väärissä paikoissa korjataan, jos täta nyt kukaan lukee:
Erotetaan muuttujat: dx/(½x^2 C)=k/m*dt, eli dx/(x^2 2C)=(k/(2m))*dt.
Merkitään 2C=D^2, jolloin dx/(x^2 D^2)=(k/(2m))*dt
Integrointitaulukoista: arctan(x/D)=(D*k/(2m)*t) E. X(0)=0=> E=0
x/D=tan(D*k/2m*t)=>x(t)=D*tan(D*k/(2m)*t), jossa D=sqrt(2C), missä C=m/k*Vo
Kiitos paljon, taitaa se tosiaan noin mennä, ihan mahtavaa!
Nyt se ei enää vaivaa mieltä. Hassua vain, että tää oli meillä ihan vaan pienenä helppona kotitehtävänä.... jonka kaikki varmaan osaa!
Miksipä et katsoisi valmista tulosta josta on helpompi päätellä edistyminen tai haluttaessa välivaiheet, kun vastaus löytyy klikkaamalla.
Esim:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y''(x)=x*y'(x)
Mitä järkeä on ryhtyä yhtäkkiä ratkomaan aivan toista yhtälöä?