f(x) = (x^1/2 - 8) / (x^1/6 -2)
Haluaisin todistaa raja-arvon määritelmän perusteella, että lim f(x) = 12 kun x lähestyy arvoa 64.
Olen saanut muodon f(x) = x^1/3 2x^1/6 4
Jotta voisin käyttää määritelmää, täytyisi pystyä kirjoittamaan arvio
|f(x) - 12| < ...
Haluaisin todistaa raja-arvon määritelmän perusteella, että lim f(x) = 12 kun x lähestyy arvoa 64.
Olen saanut muodon f(x) = x^1/3 2x^1/6 4
Jotta voisin käyttää määritelmää, täytyisi pystyä kirjoittamaan arvio
|f(x) - 12| < ...
Vastaukset 2
Vanhimmat
Todistaisin osissa, eli ensiksi jatkuvien funktioiden summan jatkuvaksi, sitten vakiot jatkuviksi ja vakio kertaa jatkuvan funktion jatkuvaksi. Tässä on kolme summattavaa, joten etsi raja, jossa kukin on pienempi kuin epsilon / 3. Näistä x^(1/n):n todistaminen lienee haastavinta. Jos u=x^(1/n) ja v=y^(1/n), niin |u-v|=|(x-y)/(u^(n-1) u^(n-2)v ... uv^(n-2) v^(n-1))|≤|x-y|/u^(n-1)=|x-y|/x^(1-1/n). Sovella tähän epsilon-deltaa.
Merkkaa y = x^1/6, jolloin saat f(y) -12 = y^2 2y-8 = (y-2)(y 4) < 7(y-2) kun y on lähellä 2. y:n raja-arvo on siis 2 ja x:n 64.