Miten saan todistettua määritelmän perusteella, että lim na^n = 0, kun n lähestyy ääretöntä ja 0 < a < 1? Ongelmia tuottaa siis arvon N löytäminen siten, että kun
n > N niin na^n < epsilon.
n > N niin na^n < epsilon.
Lukujonon raja-arvon todistus
limnan
5118
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 5
Vanhimmat
Ideana on käyttää Bernoullin epäyhtälöä eikä juuria. Kuitenkaan Bernoulli tuntuu menevän väärään suuntaan, joten täytyy tarkastella käänteislukua b=1/a, jolle b>1. Tällöin 1/b^(n^2) on muotoa 1/(1 c)^(n^2) kun c=b 1>2. Siten Bernoullista seuraa, että 1/(1 c)^(n^2)
Hups! Siis tulee olla na^n pienempää kuin n/(1 cn^2). Edelleen n/(1 cn^2) pitää saada pienemmäksi kuin epsilon. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että epsilon cn^2 epsilon -n suurempaa kuin nolla. Tämä saadaan toteutumaan, sillä cn^2=c(1 n-1)^2, josta Bernoullilla huomataan, että lauseke on suurempaa kuin c(1 2(n-1))=2nc-c.
Oikeansuuntainen mutta vähän sekava tuo exopiskelijan neuvo. Itsekin merkkaisin aluksi a = 1/(1 c), missä c>0. Sitten soveltaisin binomikehitelmän kolmea enismmäistä termiä: (1 c)^n = 1 nc n(n-1)c^2/2 ... Koska tuossa binomikehitelmässä on vain positiivisia termejä, on oikealla puolella oleva alaraja. Sen avulla saanaan na^n:lle yläraja, joka -> 0 kun n kasvaa äärettömäksi.
Totta, kirjoitin sekavasti lähinnä ajatuksia, miten todistus menee. On totta, että raja-arvon saa todistettua kätevästi binomikehitelmällä. Omista opinnoista muistan, että meille opetettiin kehitelmä vasta lukujonon raja-arvon jälkeen, joten omissa opinnoissa mulla ei ollut käytössä kehitelmää tuon tyyppisissä tehtävissä. Siksi totuin käyttämään Bernoullin epäyhtälöä. Mutta lukija itse tietää, mitkä ovat sallittuja ja mitkä kiellettyjä menetelmiä.
Kiitos, tuo sarjakehitelmäjuttu olikin tosi kätevä. Jotenkin mulla vaan on semmoinen kutina, että tarkoitus olisi tehdä se jotenki muuten, mutta Bernoullista meillä ei ole juurikaan puhuttu... No eipähän vaivaa enää mieltä.