Voisiko joku kertoa, kuinka integroida tämän kaltainen yhtälö (sinx)^3*(cosx)^2. Olen jo pari tuntia yrittänyt ratkoa sitä osittaisintegroinnilla, mutta yhtälö on muuttunut vain entistä kummallisemmaksi.
Vai pitäisiköhän yrittää ensiksi muuttaa nuo sinit ja cosinit kaksinkertaisen/kolminkertaisen kulman kaavalla toiseen muotoon? Onhan tässä vielä se vaihtoehto, että keksii sopivan sijoituksen, jonka avulla koko lauseke integroituu helposti, tosin itse en kyllä keksinyt sopivaa sijoitusta.
Ei tarvitse kertoa koko ratkaisua, vain vinkkejä ratkaisuun =)
Vai pitäisiköhän yrittää ensiksi muuttaa nuo sinit ja cosinit kaksinkertaisen/kolminkertaisen kulman kaavalla toiseen muotoon? Onhan tässä vielä se vaihtoehto, että keksii sopivan sijoituksen, jonka avulla koko lauseke integroituu helposti, tosin itse en kyllä keksinyt sopivaa sijoitusta.
Ei tarvitse kertoa koko ratkaisua, vain vinkkejä ratkaisuun =)
Vastaukset 5
Vanhimmat
(sinx)^3*(cosx)^2 = sinx*((cosx)^2 - ((cosx)^4)
Kokeillaan kaikenlaista:
1 - (cosx)^2 = (sinx)^2. Silloin integroitavaksi tulee (sinx)^3 - (sinx)^5.
Integeroitava saadaan myös muotoon sinx (sinx cosx)^2 = (1/4) sinx (sin(2x))^2 , vaikka siitä tuskin on apua.
Meneehän se juuri tuolla sijoituksella t^2=cos^2(x)
2t*dt=-2cosx*sinx*dx=>dx=-t*dt/(t*(1-t^2))
sin^3x*cos^2x*dx=((t^4)-(t^2))dt, ja integraali=(t^5/5)-(t^3/3) C, ja takaisin sijoittamalla:
(cos^5(x)/5)-(cos^3(x)/3) C
Jäi puuttumaan neliöjuuri tuosta lopusta
2t*dt=-2cosx*sinx*dx=>dx=-t*dt/(t*(1-t^2))
pitää olla dx=t*dt/(t*(1-t^2)^(1/2))
Itse tein myös samalla sijoituksella, mutta sain kyllä tulokseksi
(1/3)(cosx)^3-(1/4)(cosx)^4 C