Moi,
Osaisiko joku laskea tai neuvoa seuraavia tehtäviä? Integrointitaidot on vähän ruosteessa lukion jälkeen, on päässyt kulumaan hieman vuosia....
Laske seuraavat integraalit kaytt ¨ aen osittaisintegrointia ¨
a) dx x^a ln x
b) dx e^-x arctan e^x
Laske seuraavat integraalit käyttäen muuttujanvaihtoa
a) x^3 x / x^4 2x^2 7 dx
b) x(1 x)^1/3 dx
Kiitos paljon etukäteen! :)
Osaisiko joku laskea tai neuvoa seuraavia tehtäviä? Integrointitaidot on vähän ruosteessa lukion jälkeen, on päässyt kulumaan hieman vuosia....
Laske seuraavat integraalit kaytt ¨ aen osittaisintegrointia ¨
a) dx x^a ln x
b) dx e^-x arctan e^x
Laske seuraavat integraalit käyttäen muuttujanvaihtoa
a) x^3 x / x^4 2x^2 7 dx
b) x(1 x)^1/3 dx
Kiitos paljon etukäteen! :)
Vastaukset 10
Vanhimmat
Kokeilaanpa a)-kohtaa:
Osittaisintegroinnissa integroidaan x^a ja derivoidaan ln x.
Int dx x^a lnx = x^{a 1} /(a 1) * ln x - Int dx x^{a 1}/(a 1) * 1/x.
Jälkimmäinen integraali tulee muotoon
Int dx x^a /(a 1) = x^{a 1}/(a 1)^2
b) kohdassa ja seur a)kohdassa tarvittaisiin lisää sulkuja, jotta ne olisivat ymmärrettäviä.
Viimeisessä b)-kohdass voisi yrittää sijoitusta x 1 = y.
Silloin dx = dy ja integraaliksi tulee
Int dy (y-1)/y^{1/3} = Int dy y^{2/3] - Int dy y^{-1/3} jne.
Viimeisessä b)-kohdassa jostakin minulle ilmestyi ylimääräinen /-operaattori. Pitää tietysti olla
Int dx x(1 x)^{1/3} = Int dy (y-1)y^{1/3}
= Int dy y^{4/3} - Int dy y^{1/3} ...
x^2 1=t , tolla menee jälkimmäisen a, vaikka integraalin näkee siitä kyllä suoraankin
taikka siinä tietysti haetaan sijoitusta x^4 2x^2 7=t=>dx=dt/4(x^3 x)
dt/(4t), josta integraali on 1/4ln(t) , ja takaisin sijoittamalla 1/4*ln(x^4 2x^2 7) C
Tuo ln sisus on aina positiivinen, joten itseisarvojakaan ei tarvita, mutta jos vakion antaa muodossa lnC, ja vie sisään, niin tarvitaan , mutta ei anneta sitä siinä muodossa
int(atan(e^x))/e^x
u=atan(e^x)----du=e^x/(1 e^(2x))
dv=1/e^x--------v=-1/e^x
-atan(e^x)/e^x int(1/(1 e^(2x)).
lisätään jälkimmäisen termin osoittajaan e^(2x), ja vähennetään sama, eli
int(1/(1 e^(2x))=int(e^(2x) 1-e^(2x))/(1 e^(2x))=int(1-(e^(2x)/(1 e^(2x))))=
x-(½ln(e^(2x) 1)))
ja koko integraali: x-(½ln(e^(2x) 1)))-(atan(e^x)/e^x) C
korjataan noita sulkuja, vaikka se on vaikeata
int(atan(e^x)/e^x)
u=atan(e^x)----du=e^x/(1 e^(2x))
dv=1/e^x--------v=-1/e^x
int(atan(e^x)/e^x)=(-atan(e^x)/e^x) int(1/(1 e^(2x))).
lisätään jälkimmäisen termin osoittajaan e^(2x), ja vähennetään sama, eli
int(1/(1 e^(2x))=int(e^(2x) 1-e^(2x))/(1 e^(2x))=int(1-(e^(2x)/(1 e^(2x))))=
x-(½ln(e^(2x) 1)))
ja koko integraali: x-(½ln(e^(2x) 1)))-(atan(e^x)/e^x) C
Mitä noita laskemaan, kun tulee vastaus C-koodilla alle miljoonasosasekunnissa :)
Vanhaa vääntää paperille :D
Leonardot opettajina varmaan ja kehitys-dinosauruksia.
En minä ainakaan jaksaisi alkaa ruutupaperille vääntämään noita, tekisin vain ohjelman joka laskee sen, noh tuokin on, matematiikkaa tuokin kai :)
- Että ymmärtää ja osaa toteuttaa laskun mahdollisimman nopealla tavalla.
Mikä C-koodi? Onko olemassa jotain integrointiohjelmaa, jossa näkyvät myös välivaiheet? Pelkkä tulos kun ei riitä...
Onhan tämä sivu tässä
http://www3.wolframalpha.com/input/?i=integrate x^a ln x
Lisäksi paina Show steps.