Suppeneeko Σ ln((i 1)/i) (1 -> ∞)
Tutki suppenevuutta
mietttttijä
355
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 3
Vanhimmat
Nopeasti ajateltuna kyllä. Kun i lähestyy loputonta (i 1)/i lähestyy yhtä. Ln1 = 0. Eli summa kasvaa koko ajan vähemmän ja vähemmän.
Jos ln((i 1)/1)=0, kun i lähenee loputonta, voi kyseessä olla suppeneva tai hajaantuva sarja, mutta jos luku poikkeaisi nollasta olisi se hajaantuva. Tuo nolla raja-arvona ei siis sulje sitä hajaantuvan sarjan mahdollisuutta pois...
Kysymäsi sarja siis ln(2/1) ln(3/2) ln(4/3) .... Logaritmien laskusääntö: ln(a/b) = ln(a) - ln(b) = -ln(b) ln(a).
Lasken osasumman, kun i= 1, 2, .., n:
Σ ln((i 1)/i) = -ln(1) ln(2) - ln(2) ln(3) - ln(3) ln(4) - ln(4) ln(5) ...
-ln(n-1) ln(n) -ln(n) ln(n 1) = ln(n 1) - ln(1) = ln(n 1) (koska 2. 3. termi kumoaa toisensa, jne ja ln(1) = 0)
Koska ln(n 1) -> ∞, kun n-> ∞ kysymäsi sarja hajaantuu. Tosin aika hitaasti :-)