Elikkäs tässä olis hieman epäselvyyksiä:
Oletetaan, että f(x) > 0 välillä ]0, 1] ja että lim f(x)/x on äärellisenä (=L) olemassa, kun x lähestyy nollaa oikealta. Osoita, että integraali 0...1 ln f(x) dx suppenee.
Lähdin liikkeelle tuosta lim-oletuksesta ja sain, että kun x < delta, niin
0 < f(x) < x(epsilon L), joten myös ln f(x) < ln x ln(eps L). Tämä nyt ei kuitenkaan tunnu johtavan paljon mihinkään, kun tuo epäyhtälö on vieläpä voimassa vain kun x < delta.
Parempia ideoita?
Oletetaan, että f(x) > 0 välillä ]0, 1] ja että lim f(x)/x on äärellisenä (=L) olemassa, kun x lähestyy nollaa oikealta. Osoita, että integraali 0...1 ln f(x) dx suppenee.
Lähdin liikkeelle tuosta lim-oletuksesta ja sain, että kun x < delta, niin
0 < f(x) < x(epsilon L), joten myös ln f(x) < ln x ln(eps L). Tämä nyt ei kuitenkaan tunnu johtavan paljon mihinkään, kun tuo epäyhtälö on vieläpä voimassa vain kun x < delta.
Parempia ideoita?
Vastaukset 5
Vanhimmat
http://en.wikipedia.org/wiki/L'Hôpital's_rule
voisiko tuota integraalia laskea jotenkin auki, onhan integraali lnx:stä = x(lnx - 1), mut kun kyseessä onkin f(x) niin en nyt keksi mikä sen integraali olisi.
Raja-arvoa nollassa voisi sitten käyttää hyväksi määrättyä integraalia arvioitaessa?
Heh, toi käytiin tänään läpi ja selkisi, että pitää olettaa myös jatkuvuus ko. välillä. Jos olet kiinnostunut ratkaisusta, niin voin sen antaa. Idea oli kuitenkin tutkia loppujen lopuksi vain nollan lähistöä, koska jatkuva funktio on aina integroituva välillä [d, 1], missä d on mielivaltaisen lähellä nollaa. Jotenkin näin se ainaski meni... Ihan suht haastavaa tehtävää mielestäni :)
mietinkin viime yönä sellaista funktiota joka karkaa äärettömyyteen vaikkapa kohdassa x = 0,5 niin eihän semmoinen mitenkään voisi supeta.
Aikoinaan käymilläni kursseilla nimenomaan kiellettiin tekemästä mitään oletuksia ;)
mielestäni tehtävä on huonosti laadittu. En tarvi mallivastauksia, kunhan mietistelen näitä hioakseni hieman ruostuneita matikantaitojani...
Tuo korjaus kerrottiin meille vähän myöhään, eli sillon ku kaikki piti olla jo tehty :)
Professorimme mielestä virhe tehtävässä vain lisää tehtävän vaikeusastetta, heh!
Yks tyyppi olikin just etsiny jonku vastaesimerkin.