ongelmia tuottaa tämä seuraava tehtävä:
"kolmio muodostetaan seuraavasti: kolmion pohja on x-akseli, yksi sivu on suora y=3x ja kolmas sivu kulkee pisteen (1,1) kautta. Määritä kulmakerroin kolmannelle suoralle siten, että kolmion pinta-ala on mahdollisimman suuri."
en oikein pääse edes alkuun tässä tehtävässä, kun en ole pystynyt määrittämään yhtälöä, jota sitten lähtisi derivoimaan (tehtävä pitää siis laskea derivaatan avulla, pienin- & suurin arvo jutulla).
Mahtavaa olisi jos joku voisi autella, pitäisi tiistaina palauttaa tämä tehtävä tehtynä...
"kolmio muodostetaan seuraavasti: kolmion pohja on x-akseli, yksi sivu on suora y=3x ja kolmas sivu kulkee pisteen (1,1) kautta. Määritä kulmakerroin kolmannelle suoralle siten, että kolmion pinta-ala on mahdollisimman suuri."
en oikein pääse edes alkuun tässä tehtävässä, kun en ole pystynyt määrittämään yhtälöä, jota sitten lähtisi derivoimaan (tehtävä pitää siis laskea derivaatan avulla, pienin- & suurin arvo jutulla).
Mahtavaa olisi jos joku voisi autella, pitäisi tiistaina palauttaa tämä tehtävä tehtynä...
Vastaukset 8
Vanhimmat
Muodosta suora, joka kulkee annetun pisteen kautta, ja jonka kulmakerroin on esimerkiksi k. Sitten laske kolmion ala k:n funktiona.
mitenhän tuo kolmion ala lasketaan? tiedän, että se kaava on (kanta x korkeus)/2, mutta mistä tiedän tai miten lasken tuon korkeuden?
ja menihän tämä nyt oikein, kun laskin sen suoran yhtälön, joka kulkee pisteen (1,1) kautta, sain: y=k(x-1) 1?
No eikös se korkeus ole tuon laskemasi suoran, ja suoran y=3x leikkauspisteen
y-koordinaatti ?
Ja kanta laskemasi suoran, ja suoran y=0 leikkauspisteen x-koordinaatti ?
Jos tämä joku harjoitustehtävä on, niin tässä täytyy erotella kolme tapausta:
Suora on laskeva, suora on x=1, ja suora on nouseva.
Jos laskemasi suoran, ja suoran y=3x leikkauspisteen x-koordinaatti on a,
y-koordinaatti on b, ja laskemasi suoran ja x-akselin leikkauspisteen x-koordinaatti on c, niin:
Laskevan suoran tapauksessa ala on cb/2.
Nousevan suoran tapauksessa ala on (ab/2)-(a-c)*b/2, on myöskin cb/2
ja suoran x=1 tapauksessa ala on 1*3/2=3/2.
Ala on siis cb/2. Se lauseke on sitten muodostettava, derivoitava ja jne...ja verrattava saatua alan maksimia siihen 3/2:een.
Myöskin on vuntsattava mitä ne alan lausekkeen nimittäjän nollakohdat tarkoittavat, joilla alaa ei ole määritelty. Aika monimutkainen homma.
saatua alan "maksimia" tilalla pitäisi olla alan ääriarvokohta, koska kyseessä voi olla myös alan minimi
Taitaa olla kiero tehtävä. Nimittäin kun kolmannen sivun kulmakerroin lähenee nollaa, niin kolmion kanta kasvaa äärettömäksi ja korkeus lähenee arvoa 1.
Kun kulmakerroin lähenee arvoa 3, niin kolmion korkeus kasvaa rajatta ja kannan pituus lähenee arvoa 2/3.
Kummassakin tapauksessa siis pinta-ala kasvaa rajatta.
Jos haluaa vielä sen pinta-alan funktion, sen saa näin: Kolmas suora on y=kx b, johon sijoitetaan tunnettu piste (1, 1) ja saadaan b=1-k eli suora on y=kx 1-k. Sen leikkauspisteen y-arvo suoran y=3x kanssa on kolmion korkeus: kx 1-k=3x, josta x=(k-1)/(k-3). Sijoitetaan tämä suoraan y=3x ja saadaan se korkeus eli 3(k-1)/(k-3). Kanta on kolmannen suoran ja x-akselin leikkauspisteen x-arvo: kx 1-k=0, josta x=(k-1)/k. Pinta-ala on siis A(k)=3(k-1)^2/(2k(k-3)). Wolfram|Alpha antaa derivaataksi A'(k)=-(3(k-1)(k 3))/(2(k-3)^2k^2), josta nollakohdat k=1 ja k=-3. k=1 on paikallinen maksimi, jossa A=0 (kanta menee silloin nollaan). k=-3 on paikallinen minimi, jossa A=4/3, ja se on siis pienin positiivinen pinta-ala. A(k):n nimittäjän nollakohdissa 0 ja 3 pinta-alaa ei ole määritelty (lähestymissuunnasta riippuen se on ääretön tai miinus ääretön), ja niiden välillä se on negatiivinen (mikä ei ole järkevää). Tehtävässä olisi järkeä vain siinä tapauksessa, että pitäisi löytää pienin pinta-ala. Se on siis se A(-3)=4/3. Erikseen on syytä vielä tarkastella kolmantena suorana x=1, jolloin pinta-ala on 3/2 (ja sen saa myös A(k):n raja-arvona äärettömässä ja miinus äärettömässä). Pienimmän pinta-alan kanssa tää olis ihan mielenkiintoinen tehtävä ja sopiva pikku haaste derivaattakurssille.
Tässä vielä funktion kuvaaja Wolfram|Alphassa:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=3(k-1)^2/(2k(k-3))
Ja tosiaan, ei ole tarpeen tarkastella erikseen nousevaa ja laskevaa suoraa. Ne menee molemmat tuolla esittämälläni tavalla.
Kun kolmannen sivun kulmakerroin lähestyy nollaa kummasta tahansa suunnasta, mutta ei nollaa saavuta, kolmion pinta-ala lähestyy ääretöntä.