Moi,
Antakaapas hieman vinkkiä minulle. Olen korkeakoulun (teknillisen) jo käynyt ja siellä matematiikka kummitteli mörkönä, joten "sluibailin" kurssit läpi. Nyt on kuitenkin alkanut ala kiehtoa ja haluaisinkin vinkkiä mahdollisesta kirjallisuudesta johon tarttua (ilman että innostus lopahtaa alkuunsa). Siis kirjallisuutta "kotiopiskeluun".
Antakaapas hieman vinkkiä minulle. Olen korkeakoulun (teknillisen) jo käynyt ja siellä matematiikka kummitteli mörkönä, joten "sluibailin" kurssit läpi. Nyt on kuitenkin alkanut ala kiehtoa ja haluaisinkin vinkkiä mahdollisesta kirjallisuudesta johon tarttua (ilman että innostus lopahtaa alkuunsa). Siis kirjallisuutta "kotiopiskeluun".
Vastaukset 10
Vanhimmat
Kirjastot ovat pullollaan jos jonkinlaista opusta ja olen todennut, että mitä vanhempi kirja, sen selkeämpää tekstiä. Siis Lindelöf tai Myrberg suomalaisista tekijöistä. Kirjasta riippuen löytyy analyysin alkeita (jotakin väliltä lukio-korkeakoulu, siis itseopiskeluun soveltuvaa) ja analyyttistä geometriaa (nämä ainakin olen kohdannut itse). Toinen mahdollinen lähestymistapa on amerikkalaiset calculukset (esim. Schaum's outlines'ilta löytyy useita) Niitä löytyy useita erilaisia, mutta mielestäni kaikki ovat helpompia kuin suomalaiset vastineet (jotka on typistetty 100-200 sivuun, kun taas amerikkalaisversiot ovat A4-kokoa ja liki tuhannen sivun laajuisia). Calculus on kuitenkin hankalaa luettavaa (ei pelkästään kielen vuoksi), vastaan tulee viivaintegraaleja ja muuta mukavaa, mutta kai niistä selviää, kunhan jaksaa syventyä asiaan (ja kuten sanoin, suomalaiset ovat tehneet asiasta todella tiivistä ja hankalasti omaksuttavaa)
Toivottavasti näistä on jotain apua.
Erittäin laadukas kirja liittyen matemaattiseen analyysiin on Rudinin kirja "Principles of mathematical analysis"
Se on yliopistotasosta kamaa, kirjotettu just sellasella tyylillä, että jättää lukijallekin tilaa ajatella. Näätteste?..Silleen että ei tule ekaks mieleen mennä haistelemaan liimaa, kun on niin paskaa tekstiä... Luetaan silleen sivistyneesti punaviinilasi kädessä ja pidetään meininki herrasmiesmäisenä.
Kun oot tehnyt kaikki rudinin tehtävät kirjasta, niin mä voin kyllä sanoa, että tiedät jo jotakin muutakin kun että mistä kanat pissii!
Niin se on sellasta aika eleganttia kamaa! Ei mitenkään helppolukusta. Ne jotka valittavat, että hei pitäs sisältää jotain tikkarinkuvia, niin ne missaavat pointin. Kirjan pointti on oppia analyysi. Tähän tarkotukseen rudinin kirja on mainio. Sinun tulee ymmärtää teoreemat, määritelmät ja todistukset, muuten ei ole mitään järkeä. Jos varaa itselleen aikaa siihen miten lauseet seuraavat toisistaan, voi todella sanoa ymmärtävänsä matemaattisen analyysin. Sehän on pointti.
Kävinpä tuossa amazonin nettikaupassa ja löysin tällaisen arvostelun:
General Comments:
For years, Dr. Rudin's book has been a standard introductory analysis text because of its wonderful, elegant exposition. It is not an easy book. It was never intended to be an easy book. But those who complain that the book lacks pictures are missing the point. The point of the book is to LEARN analysis. Rudin's book is excellent for this: you have to understand the theorems, definitions, and proofs, otherwise it's nonsense. If one takes the time to understand how all the statements follow from each other, then one will have truly learned analysis, and that is really the point.
Vaikuttaako tutulta?
Miksi joku vaivaantuu kirjoittamaan hankalan kirjan, jos se on tarkoitettu opiskeltavaksi? "Ammattikäyttöön" ts. käyttöön, jos lukija jo tuntee asian, kirja varmasti käy, mutta uskoisin, että moni harrastelija olisi vain kiitollinen juuri näistä kuvista, jotka oikein käytettyinä selventäisivät asiaa. Voin tietysti olla väärässäkin.
No mun mielipide taas on se, että kirjan tulee olla sillätavalla "avoin", että jättää lukijallekin tilaa pohtimiseen ja kysymyksiin "No miks tossa ny noin tehtiin, ja mistäs tostä välivaiheesta päästiin tohon", jne. Jos on tarpeeksi sisua _oikeasti_ alkaa lukemaan matemaattista analyysiä (Tämä on itseasiassa synonyymi sanalle reaalianalyysi), niin pakko olla myös sisua oikeasti paneutua asiaan. Suurimmat kicksit saa juuri siitä, kun kokee sen YMMÄRTÄMISEN ilon. Ei minun mielestä sellainen todistus, joka on väännetty täysin rautalangasta tuota mitään suuria "aah"-elämyksiä. Sehän on kuin suoraa proosaa lukisi!
Eihän noita todistuksia kiusaksi ole väännetty tossa kirjassa typistettyyn muotoon vaan siksi, että ihmiset oikeasti ajattelisivat matematiikkaa...Usko pois, paljon enemmän on hyötyä lukea jokin todistus niin, että myös itse ajattelet ja paneudut niihin matemaattisiin struktuureihin, kun että luet sen suoraan paperilta, niin, että hyväkun kerran henkästä tarvii...
Tämä on todettu paljon tehokkaammaksi tyyliksi, ja itsekin suosin sitä mielummin. Jos luet jotakin matematiikan alan lehteä, niin ei niissäkään uusien teoreemojen todistukset tuoda suoraan nenän eteen, vaan pyydetään kiltisti lukijaa paneutumaan esim metristen avaruuksien perusteisiin.
Ainoa tapa oppia matematiikkaa on tehdä matematiikkaa, liiankin tuttu lausahdus, jonka muistaakseni lausahti muuan 1900 luvun suurimmista matemaatikoista nimeltä Hardy.
Minua nimittäin inhottaa turha työ. Se ei tietenkään kata tätä kaikkea: reaalianalyysi on osattava (itsestäänselvyys) mutta miksi se on paikoitellen (nyt ei voi enää puhua reaalianalyysistä, koska se nyt on suurelta osin helppoa. Lukion matematiikalla pääsee jo hyvinkin pitkälle, mikä kertonee jotakin) tehtävä niin vaikeatajuiseksi. Jotkin todistukset eivät vaatisi kuin muutaman välivaiheen lisää ja homma olisi selviö (esim. arvioinnit ylöspäin kolmioepäyhtälön avulla voivat olla hyvin epämääräisiä. Tämä teksti tulee tietysti ihmiseltä, jolla on vain lukiomatematiikka pohjalla: kaikki on pureskeltu valmiiksi ja kylmä maailma on ikävä omakohtaisesti kohdata. Asia kuitenkin on niin, että kun ei ole "pakotetta" takana, niin asioita vain lukee: kun ei tee 15 tehtävää, jossa täytyy käyttää jotakin todistetuista lausehista, niin asia painuu unholaan.). Mutta ei. Täytyy vedota johonkin lauseeseen, jonka selvittäminen itselle vaatii 30 sivun lukemisen. Lukeminenhan on helppoa (se on sitä proosaa), mutta ymmärtäminen on asia erikseen.
Mutta asiaan. Miksi tehdä "turhaa työtä" lukemalla hankalaa (vaikkakin muuten arvostettua) teosta, kun saman voi tehdä helpommin? Silloin ei tule ansainneeksi tietoaan hiellä ja verellä, mutta onko se ainoa oikea tavoite. Tieto ja ymmärrys ovat asioita, joihin tulee pyrkiä. Ei turha työ ja raadanta.
Voi voi. Meni taas jeesustelun puolelle. Ehkä minä jonain päivänä opin, ettei ihmisiä kiinnosta lukea tällaisia asioita, "epäkypsän kakaran" kirjoittamia surkeita kommentteja aikuisten keskustelupalstalla. Ja tämän yhdistäminen matematiikkaankin on aika hankalaa. Ehkä minusta sittenkin tulee maailmanparantaja: humanistiseen tiedekuntaan vaan, siellä tuollaisia tarvitaan...
Mitä lukiossa opetetaan reaalianalyysista, niin se on todella pintapuolen raapaisua.
Reaalianalyysi on yksi vaikeimmista matematiikan konsepteista, sehän kuuluu yliopistossakin laudatur-asteen kursseihin.
Lukioasteen matematiikka on muutenkin täysin modernista matematiikasta poikkeavaa. Eihän lukiossa edes perehdytä raja-arvon käsitteeseen sen enempää, että se on jotain supistelua ja sijoittelua. Raja-arvon käsite (joka on tärkein käsite matemaattisessa analyysissa) on paljon jotain muuta.
Jos haluat tutustua reaalianalyysin perusteisiin, niin on olemassa yksi hyvä verkkomanuaali suomenkielellä joka auttaa asiaa. Samalla saat hiukan kuvaa siitä minkälaista reaalianalyysi on.
Eli linkki tässä:
http://butler.cc.tut.fi/~kaleva/Real.pdf
Pruju on tampereen teknillisen yliopiston reaalianalyysin kurssikirja. Sen pitäisi lähteä liikkeille ihan perusteista.
Tätä raja-arvo-ongelmaa pohti myös yksi opettajistani. Ennen virallinen raja-arvo kuului lukion kurssiin, mutta se jossakin uudistuksessa poistettiin. Sitten, kun pienet lukiolaiset siirtyvät seuraavalle asteelle, tulee ensimmäistä kertaa vastaan epsilon-delta-menetelmä ja kolmioepäyhtälö (jonka todistus tietysti jätetään harjoitustehtäväksi...). Eipä ole ihme, että matematiikka monella jatko-opinnoissa tökkii! Mutta mitä sitä opetussuunnitelmia muuttamaan, tämä on varmasti hyvä systeemi.
Täytyy nyt tutustua tuohon nettiopukseen, jos sieltä oppisi jotain. (Tällä päällä se tosin on hyvin epätodennäköistä)
Et kai ole sattunut olemaan Pohjavirran luennoilla? ;)
"Foundations of Modern Analysis" on hyvä perusteos analyysistä kiinnostuneille. Hintaa en enää muista, mutta kannessa (paperikannet) lukee 7.95$. Kattaa mitta- ja operaattoriteorian perusteet ja määrittelee niissä tarvittavat topologiset käsitteet. Jos tuntee jatkuvuuden ja derivoituvuuden todistamiseen tarvittavat perustekniikat reaaliluvuilla, niin tästä on hyvä jatkaa. Jokaisessa kappaleessa on harjoitustehtäviä, mutta ratkaisut on keksittävä itse.
Matematiikka on paljon muutakin kuin raja-arvoon perustuvaa analyysiä, vaikka Suomessa analyysi on historiallisistakin syistä se ala johon panostetaan. Esim. laskennallisiin ongelmiin voi tutustua teoksessa "Computational Complexity" (C.H.Papadimitriou). Ei kannata säikähtää "tietojenkäsittelytieteellistä" otetta, vaan teosta voi lukea johdantona 2000-luvun matematiikan perusongelmiin.