Pitäisi osoittaa, että löytyy sellainen luku a välillä [o, pii], jolla sin(cos a) = a. Tämänhän voi osoittaa sillä, että löytyy sellainen x, joka toteuttaa yhtälön
sin(cos x) = x sin(cos x) - x = 0 .
Tuohon ajattelin käyttää Bolzanon lausetta, mutta ensin pitäisi todistaa, että sini-funktio on jatkuva. Tämä onnistuu kyllä, jos käytän tietoa, että (sin x)/x --> 1 kun x --> 0 , mutta tämän todistaminen sitten ei suju. Miten siis sen tekisin, vai löytyykö alkuperäiseen ongelmaan vastaus helpommin muulla tavalla?
sin(cos x) = x sin(cos x) - x = 0 .
Tuohon ajattelin käyttää Bolzanon lausetta, mutta ensin pitäisi todistaa, että sini-funktio on jatkuva. Tämä onnistuu kyllä, jos käytän tietoa, että (sin x)/x --> 1 kun x --> 0 , mutta tämän todistaminen sitten ei suju. Miten siis sen tekisin, vai löytyykö alkuperäiseen ongelmaan vastaus helpommin muulla tavalla?
Vastaukset 4
Vanhimmat
Sinin jatkuvuuden todistamisessa pitää ensiksi tietysti määritellä sini. Usein se määritellään sarjana, jonka termit ovat muotoa (-1)^n*x^(2n 1)/(2n 1)!. Nyt sarja suppenee tasaisesti välillä [0,pii]. Toisaalta tasainen jatkuvuus takaa sen, että rajafunktio on jatkuva.
Ahaa. Tuo trigonometristen funktioiden johtaminen sarjateorian avulla on minulle vielä tuntematon aihe, eikä sitä varmaankaan tulisi käyttää. Materiaalissa, josta kaikki tieto tulisi saada, todistetaan sinin jatkuvuus ilman mitään määrittelyä, mutta siinä nojataa juuri tuohon mainittuun tietoon (sin x)/x :n raja-arvosta.
Noh, viikonlopun jälkeen pääsen kysymään suoraan ohjaajaltani asiasta. Koulun harjoitustyö siis kyseessä.
Jos tiedetään, että cos ja sin ovat jatkuvia, niin yhdistetty funktio sin(cos(a)) on jatkuva. Olkoon a = PI/2. Silloin sin(cos(PI/2)) = sin(0) = 0, joka on pienempi kuin a = PI/2.
Olkoon a = 0: Silloin sin(cos(0)) = sin(1) (likimäärin 0.8415). Tämä on suurempi kuin
a = 0.
Siis välillä (0, PI/2) on ainakin yksi a-arco, jolla yhtälö on voimassa.
Miksi tuossa pitäisi osoittaa jotain trigonometristen funktioiden ominaisuuksista?
Yhtä hyvin voisi olettaa, että yhteenlaskun ominaisuudet pitäisi osoittaa, jos kysytään, paljonko on 1 2.