osoita että yhtälöllä (x-a)(x-b)=1 on kaikilla a:n ja b:n arvoilla kaksi eri suurta reaalijuurta.
ratkaise x^1000=2^500x^501-2^998x^2
miten ratkaisen?
ratkaise x^1000=2^500x^501-2^998x^2
miten ratkaisen?
ähh apua
voihheihh__
3150
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 3
Vanhimmat
Vasen puoli on ylöspäin aukeava paraabeli, joka leikkaa x-akselin (y=0), pisteissä
a ja b, ja koska polynomifunktio on jatkuva, se leikkaa myös suoran y=1 jossain pisteissä.
B-kohdassa todetaan, että x=0 toteuttaa yhtälön, ja tutkitaan sitten tapausta x on erisuuri kuin nolla. Nyt voidaan jakaa molemmat puolet termillä x^1000 ja saadaan:
1=(2^500/x^499)-(2^998/x^998)=(2*(2/x)^499)-((2/x)^998).
Merkitään (2/x)^499=t, niin tulee: 1=(2t)-t^2, josta t=1, ja edelleen x=2, joten
x=0 tai x=2
Tuo on eräänlainen graafinen tulkinta ratkaisujoukolle, mutta ei tässä tietenkään sitä haeta, vaan on osoitettava, että kysytystä muodosta saatavan toisen asteen yhtälön Diskriminantti on aina positiivinen. Silloin yhtälöllä on kaikilla a:n ja b:n arvoilla kaksi eri suurta reaalijuurta.
Yhtälö on : x^2-(xb)-(xa) (ab)-1=0=> x^2 (x(-a-b)) ((ab)-1)=0
D=(-a-b)^2-(4((ab-1))= a^2 (2ab) b^2-(4ab) 4=a^2-(2ab) b^2 4=(a-b)^2 4
Tuo viimeinen saatu muoto osoittaa, että Diskriminantti on kaikilla a:n ja b:n arvoilla positiivinen, ja yhtälöllä aina kaksi erisuurta reaalijuurta.
Yhtälö:
x^1000 = 2^500*x^501-2^998*x^2
"vähennellään sopivasti molemmin puolin"
x^1000 - 2^500*x^501 2^998*x^2 = 0
"otetaan x^2 yhteiseksi tekijäksi"
x^2 * ( x^998 -2^500*x^499 2^998 ) = 0
"huomataan, että x^998 = (x^499)^2"
x^2 * ( ( x^499)^2 -2^500*x^499 2^998 ) = 0
"huomataan että yllä olevasta tulon oikean puoleinen termi on muotoa
a^2 -2ab b^2, tällä kertaa a=x^499 ja b=2^998"
x^2 * ( x^499 - 2^499 )^2 = 0
tulon nollasäännön nojalla rataisuiksi kelpaa x=0 , saatiin vasemmasta termistä, ja oikea termi on nolla kun x^499 = 2^499. tämähän pätee kun x=2, ja muita ratkaisuja edelliselle yhtälölle ei ole, joten yhtälön juuriksi saatiin x=0 tai x=2.