Pähkäilin gravitaatiota, ja alkani tuhrattuani törmäsin itselleni liian vaikeaan ongelmaan.
Vetovoimasta aiheutuva kiihtyvyyshän on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön, eli ilman vakioita se on muotoa s''(dt) = 1/s^2 .
Huolimattomuuttani jossain vaiheessa toinen potenssi unohtui pois ja kaava sai muodon s'' = 1/s , joka kiinnosti ainoastaan matemaattisen ratkaisunsa osalta.
Toivoisin siis ratkaisua funktiolle, jonka käänteisarvo = toinen derivaatta.
Olen saanut tulokseksi kyllä jonkinlaisen sarjakyhäelmän. mutta mitään jätjellistä funktiota en ole löytänyt, joten apu olis paikallaan.
Etukäteen kiittäen.
Vetovoimasta aiheutuva kiihtyvyyshän on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön, eli ilman vakioita se on muotoa s''(dt) = 1/s^2 .
Huolimattomuuttani jossain vaiheessa toinen potenssi unohtui pois ja kaava sai muodon s'' = 1/s , joka kiinnosti ainoastaan matemaattisen ratkaisunsa osalta.
Toivoisin siis ratkaisua funktiolle, jonka käänteisarvo = toinen derivaatta.
Olen saanut tulokseksi kyllä jonkinlaisen sarjakyhäelmän. mutta mitään jätjellistä funktiota en ole löytänyt, joten apu olis paikallaan.
Etukäteen kiittäen.
Vastaukset 4
Vanhimmat
Kyseessä on epälineaarinen differentiaaliyhtälö, joten on todennäköistä ettei sille ole ratkaisua laisinkaan. (paitsi tietenkin numeerinen)
Kyllä olevinaan löysin siihen ratkaisun, mutta vain sarjan muodossa, ja ongelma onkin, onko olemassa funktiota, joka täyttäisi ehdon.
Siis s''=1/s, missä s=s(x) x:n funktio.
Kerrotaan s':lla : s''*s'=s'/s.
Huomataan tulon derivointisäännöstä:
s'*s'=Int(s''*s' s's'')=Int(2*s''*s')=2Int(s''*s')
=> Int(s''*s')=(1/2)*(s')^2
Integroidaan yhtälö puolittain x:n suhteen:
Int(s''*s') = Int (s'/s)
(1/2)*(s')^2 = ln(s)
s' = /- sqrt(ln(s^2)), (ehto s^2 > 1)
Tämä on separoituva ensimmäisen kertaluvun dy,
jonka ratkaisu s=s(x) implisiittisessä muodossa:
Int(ds/sqrt(ln(s^2)))=x.
Mitään nätimpää muotoa integraalille tuskin on...
Kiitos, että joku edes yrittää.
Tuohon samaan tulokseen pääsee helpommin sijoittamalla y' = a , ja integroimalla a*da/dy = 1/y.
Vaikeudet alkavat vasta tästä, ja oletettavasti yleistä ratkaisua ei ole olemassa, kuitenkin on ainakin yksi käyrä, joka toteuttaa yhtälön, ja on
täysin konstruoitavissa. ( kehitysväittämä x=0, y=1, taikka McLaurin/Taylor)
En ole kuitenkaan löytänyt minkäänlaista funktiota, y=f(x) tai x=f(y), joka olisi käyrän kuvaaja, ja toivottavasti joku olisi viisaampi/tietävämpi.