Onko kellään vinkkiä/ideoita, miten ratkaista kyseinen ongelma? Koko ratkaisukin on tervetullut.
Olkoon f Lebesgue-integroituva funktio, jolle pätee
|f(x) - f(y)| < [x - y| tai |f(x) - f(y)| = [x - y| (ts. f on Lipschitz)
Väite:
r lähestyy ääretöntä limsup{ |f(x)| : |x| > r} = 0.
Kiitoksia etukäteen.
Olkoon f Lebesgue-integroituva funktio, jolle pätee
|f(x) - f(y)| < [x - y| tai |f(x) - f(y)| = [x - y| (ts. f on Lipschitz)
Väite:
r lähestyy ääretöntä limsup{ |f(x)| : |x| > r} = 0.
Kiitoksia etukäteen.
Vastaukset 1
Vanhimmat
Vähän on päässyt unohtumaan yksityiskohdat, mutta intuitio sanoisi jotain seuraavanlaista. Jos raja-arvo olisi vaikka ö > 0, niin tällöin jostain arvosta r0 alkaen |f(x)| > ö/2. Nyt int |f(x) dx yli alueen |x| > r0 olisi suurempi kuin vakion ö/2 integraali tämän äärettömän alueen yli eli ääretön. Mutta silloin f ei ole Lebesgue-integroituva. Lipschitz jatkuvuus on toki ihan kiva juttu, mutta en tiedä mihin sitä tässä tarvitaan.