Suorakulmion ABCD kärki A on origossa, ja sille vastakkainen kärki C on pisteessä (6, 4). Kärki B on janan AC suuntaisella suoralla. Määritä suoran yhtälö, kun suorakulmion ala on mahdollisimman suuri.
Tää voi olla ihan iisi mutta ei nyt jotenkaan onnistu sitten millään.. Miten tää lähtis alkuun?
Tää voi olla ihan iisi mutta ei nyt jotenkaan onnistu sitten millään.. Miten tää lähtis alkuun?
Vastaukset 4
Vanhimmat
Aluksi voisi vain todeta, että suorakulmion ala lävistäjän pysyessä vakiona on suurin, kun sen muoto on neliö. Mutta koska tämä toteamus ei luultavasti riitä, niin lasketaan sitten:
Merkitään suorakulmion sivuja AB a:lla ja BC b:llä, sekä lävistäjää AC c:llä.
Suorakulmion pinta-ala A = ab. Lisäksi a^2 b^2 = c^2, koska lävistäjä ja sivut muodostavat suorakulmaisen kolmion.
Ratkaistaan jälkimmäisestä yhtälöstä b = sqrt(c^2 - a^2) ja sijoitetaan alan yhtälöön:
A = a*sqrt(c^2-a^2)
Derivoidaan a:n suhteen. (Inhottava derivointi, tähän todistukseen olisi varmaan joku paljon helpompikin tapa, mutta en nyt tähän hätään keksi sitä, ja meneehän se näinkin):
A' = sqrt(c^2-a^2) a * (1 / (2 * sqrt(c^2-a^2))) * (-2a)
= sqrt(c^2-a^2) (-2a^2 / (2 * sqrt(c^2-a^2)))
= sqrt(c^2-a^2) -a^2 / sqrt(c^2-a^2)
= (c^2 - 2a^2)/sqrt(c^2-a^2)
Derivaatta on nolla kun osoittaja on nolla:
c^2 - 2a^2 = 0, mistä: a^2 = c^2 / 2
Koska oli a^2 b^2 = c^2, täytyy tällöin myös b^2 = c^2 / 2, ja siten a = b.
Eli suorakulmion ala, lävistäjän pysyessä vakiona, on todellakin suurin, kun sivut ovat yhtä pitkät.
Meillä on siis neliö ABCD, missä A = (0,0) ja C = (6,4). Tällöin piste B = (1,5). (Jos haluat, voit jotenkin laskea miksi näin on, mutta minusta tässä täytyy riittää "on ilmeistä että" selitys.)
Etsimme siis suoraa y = kx b, joka kulkee pisteen (1,5) kautta, ja joka on yhdensuuntainen pisteiden (0,0) ja (6,4) kautta kulkevan suoran y = (2/3)x kanssa.
Sijoittamalla yhtälöön y = (2/3)x b pisteen (1,5) saamme 5 = 2/3 b, mistä b = 13/3. Kysytty suora on siis y = (2/3)x 13/3
Kiitos paljon, selvensi tosi hyvin! Ja joo, tohon tosiaan on vissiin joku toinenkin keino kuin derivointi, kun kyseinen tehtävä oli kirjassani "suurin arvo ilman derivaattaa" -otsakkeen alla, mutta hyvinhän se noinkin menee :)
Derivoinnin välttely vaikuttaa ainakin ensi silmäyksellä työläältä. Voi tietysti olla että tuossa kirjassa on käsitelty joitakin ratkaisussa auttavia yhtälöitä. Yksi tapa kuitenkin on tällainen:
Jos etäisyyttä AB merkitään a:lla ja BC:tä b:llä, niin suorakulmion ala on ab. Toisaalta kolmiosta ABC voidaan sanoa että suorakulmion ala on kantakanta AC*h, missä h on kolmion korkeus. Etäisyys AC on √(6² 4²) = √52
Ala on siis
A=ab=h√52
joten h=ab/√52
toisaalta tiedetään, että etäisyys AC on √(a² b²)=√52, josta
a=√(52-b²)
eli nyt h=√(52-b²)b/√52
koska halutaan maksimoida ala A=h√52, voidaan keskittyä maksimoimaan h
kertomalla edellisenh:n lausekkeen b neliöjuuren sisään saadaan
h=√(52b²-b⁴)/√52, jonka maksimi löytyy kohdasta jossa yhtälöllä
52b²-b⁴ on maksimi. b on positiivinen, joten voidaan merkitä b²=d, jolloin maksimi löytyy paraabelin 52d-d² huipusta.
Siitä ratkeaa a ja edellisistä yhtälöistä samalla b. ja h oli ab.
AC on vektorin (6,4) suuntainen ja yksi suoran pisteitä on siitä kohtisuoraan suuntaan h:n verran. Suunta on vektorin (4, -6) suuntaan. Sen suuntainen yksikkövektori on (4,-6)/√(52) ja yksi suoran piste on siis pisteessä h*tämä yksikkövektori.
suoran kulmakerroinkin tiedetään, joten tämän pisteen avulla saadan suoran yhtälö.
Derivoimalla olisi mennyt helpommin ;-) Ehkä jokin helpompikin ilman derivointia käyttävä tapa olisi ollut.
Mites tällainen ratkaisu:
Suorakulmio ABCD muodostuu kahdesta samanmuotoisesta kolmiosta ABC ja CDA. Siten sen ala on suurimmillaan, kun piste B on mahdollisimman kaukana janasta AC, koska kolmion ABC pinta-ala on janan AC pituus kertaa pisteen B etäisyys janasta jaettuna kahdella.
Piste A = (0,0), B = (x,y), C = (6,4). Sivua AB vastaa tällöin vektori xi yj ja sivua BC vektori (6-x)i (4-y)j. Vektorien AB ja BC pistetulon pitää olla nolla, jotta kulma ABC olisi suorakulma:
AB . BC = x(6-x) y(4-y) = 0
=> x^2 y^2-6x-4y = 0
Tämä on ympyrä, jonka keskipiste on (3,2), eli janan AC keskipisteessä, ja joka kulkee pisteiden A ja C kautta. Merkitään ympyrän keskipistettä E:llä.
On selvää, että tällä ympyrällä sijaitseva piste B on mahdollisimman kaukana ympyrän halkaisijasta AC silloin, kun kulmat AEB ja CEB ovat suoria kulmia.
Suorakulmion ABCD täytyy tällöin olla neliö.
Loppu kuten ekassa vastauksessani.