Haastava lasku

Piirtelen kuvaa ja kirjoitan ratkaisun tässä myöhemmin päivällä, josk kukaan muu ei ehdi ensin.

Olkoon s aluksen etäisyys maan pinnasta ja maan säde r. Silloin aluksen etäisyys maan keskipisteestä on s r. Tämä etäisyys on hypotenuusan pituus suorakulmaisessa kolmiossa, jonka toinen kateetti on maan säde ja toinen kateetti aluksen kautta kulkeva maan isoympyrän tangentti. Silloin maa näkyy kulmassa

2 * arcsin(r / (s r)):

Siinähän se vastaus jo onkin, mutta tein nyt kuitenkin vielä uuden ratkaisun kuvan kanssa.

http://oi40.tinypic.com/20j1rwp.jpg

Kuvassa mustat suorat viivat ovat kaikki maan säteen mittaisia. Sininen viiva on d:n pituinen, eli 15 000 km. Piirretään avaruusaluksesta (kuvassa sen pohjasta, todellisuudessa alus tietysti hyvin pieni, pistemäinen maahan verrattuna, joten on sama mistä kohtaa alusta tämä tehdään) tangentti maapalloon.

Voidaan muodostaa ensimmäisessä vastauksessa kuvailtu suorakulmainen kolmio maan säteen r ja aluksen etäisyyden (r d) välille. Tällöin tangentin ja etäisyyden välinen kulma α on puolet siitä kulmasta, josta "maa nähdään".

Tietysti voi piirtää myös tangentin toiselle puolelle maapalloa (kuten olen kuvassa tehnytkin), jolloin muodostuu identtinen kolmio, ja kulma α' on sama kuin α, eli koko kulma on α α'=2α. Trigonometriasta saadaan

sin α = r / (r d)=>α= arcsin (r/(r d))

Jolloin koko kulma on, kuten edellisessä viestissä

2α
=2*arcsin(r/(r d))
≈ 2*arcsin(6370/(6370 15000))
≈ 2*arcsin(0.29808)
≈ 2*17.3424°
≈ 34.6848°
≈ 35°

Trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot ovat ns. arkusfunktioita, joita merkitään kuten tuossa, siis esimerkiksi arctan. Laskimella tämä on mainitsemasi "shift tan". Toinen merkintätapa on arkustangentille tan^(-1), eli "tangentti potenssiin miinus yksi".

Jäi jotenkin sellainen olo, että tämä selitys voi olla turhan epäselvä, joten kysy ihmeessä jos haluat selvennystä!