Päivää, matemaatikot.
Gradientti antaa tunnetusti funktion suurimman kasvunopeuden. Miten tämän voi todistaa?
Gradientti antaa tunnetusti funktion suurimman kasvunopeuden. Miten tämän voi todistaa?
Gradientti
Endorfiinihumala 1
9690
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 9
Vanhimmat
Gradientin lauseke on muodostettu hakemalla lauseke, joka antaa funktion suurimman kasvunopeuden.
Jotain rajaa hei.
Miten niin suurimman? Gradientti ilmoittaa yleisesti funktion muuttumisnopeuden jossain kohtaa, esim. dT/dx(x = 0,20m) = -100 K/m ilmoittaa lämpötilan muuttumisnopeuden kohdassa x = 0,20m. Ei sen tarvi olla suurin...
derivaatta ja gradientti eivät ole sama asia.
gradientti ilmaisee suunnan jossa funktio kasvaa nopeiten.
Gradientti jaettuna gradientin suuruudella ilmaisee suunnan jossa funktio kasvaa nopeiten (gradientin suunta on tämä suunta). Gradientti ilmaisee lisäksi kasvunopeuden.
gradientti ilmaisee suunnan ilman jakamistakin.
suunta ja suuruus ovat kaksi eri asiaa.
suuruudella ei ilmaista suuntaa.
Jotenkin näin minä olen sen ajatellut:
Tutkitaan tilannetta kiinteässä pisteessä.
funktio f: R^n ->R
Gradientin transpoosi on funktion Jacobin matriisi, joka on tässä tapauksessa vaakavektori. Tällä matriisilla kun kertoo jonkin R^n:n vektorin, jonka normi on 1, saadaan funktion muutosnopeus eli derivaatta tuohon suuntaan. Sijoita nyt tuon kerrottavan vektorin paikalle tuon vaakamatriisin transpoosi eli gradientti. Derivaataksi gradientin suuntaan muodostuu tuon gradientin sisätulo itsensä kanssa. Ja eikös Schwarzin epäyhtälö sano jotain semmoista, että tuo sisätulo on itse asiassa yläraja tuolle derivaatalle, ja gradientin kanssa se saavutetaan.
Huh