Osaako joku antaa linkin, josta löytyy todistus seuraavalle lauseelle:
Jos y1 ja y2 ovat ovat yhtälön y'' ay' by = 0 (jossa a ja b reaalilukuja) kaksi erillistä ratkaisua, niin yhtälön kaikki ratkaisut ovat muotoa Cy1 Dy2, jossa C ja D reaalilukuja.
Todistus on ilmeisesti hyvin pitkä, että tänne varmaan ei jaksa laittaa.
Jos y1 ja y2 ovat ovat yhtälön y'' ay' by = 0 (jossa a ja b reaalilukuja) kaksi erillistä ratkaisua, niin yhtälön kaikki ratkaisut ovat muotoa Cy1 Dy2, jossa C ja D reaalilukuja.
Todistus on ilmeisesti hyvin pitkä, että tänne varmaan ei jaksa laittaa.
Vastaukset 3
Vanhimmat
ei ole pitkä, hyvin helppo.
Käytetään operaattorimerkintää Ly = (d²/dx² a d/dx b)y
L on siis lineaarinen differentiaalioperaattori.
Olkoon nyt y = Cy1 Dy2 missä y1 ja y2 ovat homogeeniyhtälön eri ratkaisuja
eli Ly1 = 0 ja Ly2 = 0.
=> Ly = L(Cy1 Dy2) =
(käytetään lineaarisuutta hyväksi) CLy1 DLy2 = 0 0 = 0
eli y on myös HY:n ratkaisu.
Tossahan on vasta puolet todistuksesta. Nyt on siis osoitettu, että y=Cy1 Dy2 toteuttaa ko. diffyhtälön, mutta toteuttaako sitä mitään muuta muotoa oleva y?
ahaa no siinä tapauksessa todistus on työläämpi mutta tässä ainakin lyhkäsen tarkastelun mukaan on todistus:
http://www.math.utah.edu/~gustafso/2250second-order-de-manuscript.pdf