Ostin kiskalta salmiakkiaakkosia viikkorahoilla ja aloin miettiä miten vinosuunnikkaan tilavuus lasketaan?
Olkoon pituus 15 mm ja leveys 10 mm ja paksuus 3 mm.
Rakensin puurakenteiset telineet aakkosen ympärille tulitikuista ja nostolaitteen kiinnitin pussieni reunaan. Monenko kilopaskalin voimalla joutsen iskeytyi rakennelmaani?
Olkoon pituus 15 mm ja leveys 10 mm ja paksuus 3 mm.
Rakensin puurakenteiset telineet aakkosen ympärille tulitikuista ja nostolaitteen kiinnitin pussieni reunaan. Monenko kilopaskalin voimalla joutsen iskeytyi rakennelmaani?
Vastaukset 1
Vanhimmat
Vinosuunnikkas on tasokuvio, joten sen tilavuus katoaa. Jos kuitenkin lasketaan salmiakkiaakkosen tilavuus, saadaan se helposti seuraavasti
Olkoon origo yhdessä salmiakkiaakkosen kulmassa. Kappaleen tilavuus saadaan skalaarikolmitulon
a·(b×c)
pituutena
abs(det(a_x,a_y,a_z;b_x,b_y,b_z;c_x,c_y,c_z))
missä c ja b ovat vaikkapa vinoneliön "pohjan" virittävät vektorit ja a korkeusvektori, käyttäen tavallisia xyz-tason komponenttimerkintöjä ja erottaen determinantin rivit puolipisteellä.
Varsinaista laskua kenties helpompi on huomata, että |b|=|c| ja a||b ja a||c, käyttäen tästedes merkintää |v| vektorin pituudelle. Kun lisäksi tiedetään että |b×c|=|b||c|sinφ=b^2*sinφ, missä φ on sivujen b ja c välinen kulma ja b^2=b·b=|b||b|, ja tiedetään että a·v=|a||v|cosθ missä v on ristitulovektori b×c, ja sen suunta nk. oikean käden kiertosäännön mukaisesti yhdensuuntainen vektorin a kanssa, jolloin niiden välinen kulma θ=0 ja cosθ=1 ja siis
V=a·(b×c)=a·(|b||c|sinφ)=|a|||b||b|sinφ|cos0=|a||b|^2sinφ
missä siis |b| on salmiakkiaakkosen pitkän sivun pituus (mittaamalla tai yksinkertaisella trigonometrialla), φ pienin kahden pitkän sivun välisistä kulmista (yhtä yksinkertaisella trigonometrialla, lue Pythagoraan lause) ja |a| aakkosen paksuus.
Toisessa kysymyksessäsi onkin jo niin vähän järkeä, että sitä en edes lähde tulkitsemaan.