Ääretön, missä on ääret

äärettömästä

Ajatellaan vaikka kaksi lukua 0 ja 1. Niiden väliinhän sopii ääretön määrä luvun desimaaleja, kun lähestytään lukua 1.
Miten on mahdolista, että äärirajojen välissä on äärettömyys?

26

238

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • 24

      kekman mene pois

      • pkeckman

        En kysyisi noin epäloogisia kysymyksiä. Eivät kaikki joita äärettömyys kiinnostaa ole minä. Minä olen kirjoittanut tänne vain ja ainoastaan omalla profiilillani. Muualle Suomi24:een myös nimimerkeillä.


    • 15+10

      Äärettömyys != Ääretön määrä

      Mene pois.

    • ÄÖ149

      Ihan hyvä kysymys. Vaatii uskomattoman paljon älyä esittää tuommoinen kysymys ja useinkaan superälykkäät ihmiset ei kirjoittele suomi24:seen joten herää kysymys, kuka sinä olet ja mistä tulet?

    • ??????

      Kaikki sanoo että tyhmä kysymys. Mutta koettakaapa selittää miten päättymättömästä luvusta (esim. 0,999999999999999999999999999999...) lopuksi hypätään lukuun 1?

      • 15+10

        Päättymätön desimaalikehitelmä

        0.999...=1

        Että näin. Ei siitä mitenkään hypätä mihinkään, se on sama luku.


      • _daa_
        15+10 kirjoitti:

        Päättymätön desimaalikehitelmä

        0.999...=1

        Että näin. Ei siitä mitenkään hypätä mihinkään, se on sama luku.

        10x = 9.9999...
        x = 0.999...
        ----------------------------------
        --> 9 x = 9
        x = 1


      • tarkennusta.
        15+10 kirjoitti:

        Päättymätön desimaalikehitelmä

        0.999...=1

        Että näin. Ei siitä mitenkään hypätä mihinkään, se on sama luku.

        eli ei hypätä mihinkään, vaan se on matematiikan teoriassa tehty sopimus, että merkinnällä 0.999... tarkoitetaan samaa kuin yksi. Ja siten 9.999... on kymmenen kuten seuraavassa oleva yhtälölasku yrittää näyttää.


      • HugaZaga
        tarkennusta. kirjoitti:

        eli ei hypätä mihinkään, vaan se on matematiikan teoriassa tehty sopimus, että merkinnällä 0.999... tarkoitetaan samaa kuin yksi. Ja siten 9.999... on kymmenen kuten seuraavassa oleva yhtälölasku yrittää näyttää.

        luulen että näin on järkeilty: jos luvut 10 ja 0,999999... olisivat erisuuria, niiden välillä täytyisi siis olla ainakin joku reaaliluku, mutta koska tuollaista välissä olevaa lukua ei löydetä niin on helpointa päättää että ne ovat yksi ja sama luku ,. ?


      • HugaZaga
        HugaZaga kirjoitti:

        luulen että näin on järkeilty: jos luvut 10 ja 0,999999... olisivat erisuuria, niiden välillä täytyisi siis olla ainakin joku reaaliluku, mutta koska tuollaista välissä olevaa lukua ei löydetä niin on helpointa päättää että ne ovat yksi ja sama luku ,. ?

        siis 10 ja 9,999999999999999........


    • Erittäin hyvä

      Kysymys. Olen miettinyt samaa asiaa ja jossain netissä on tiededokumentti asian tiimoilta. BBC Horizon sarjasta "To Infinity and Beyond" Koita löytää.

      • Löyty

    • kasikallellaan

      0,999999... = 1.

      Koska 1/3 = 0,3333... ja 3*1/3 = 3*0,333.. = 0,999... = 1.

      Ääretön määrä lukuja voidaan valita väliltä 0 - 1, koska yleisesti ei ole määritelty pienintä väliä. Aina voidaan jakaa äärettömän pieni väli äärettömästi pienempiin väleihin. Kun mennään tarpeeksi lyhyisiin aikaväleihin, ei kemiallisia reaktioitakaan ehdi tapahtua. Kun tarkastellaan tarpeeksi pientä aikaväliä, voi olla mahdollista löytää hetki, jolloin maailmankaikkeudessa ei tapahdu mitään liikettä. Kun katsotaan äärettömän kauas, on todennäköistä, että kaikki epätodennäköiset asiat tapahtuvat.

    • ap

      "kasikallellaan", kiitos hyvästä vastauksesta. Ehkä kysymys oli tyhmä, mutta selvisi nyt kuitenkin.

    • On ehkä

      jotenkin yksioikoista yrittää tehdä yhtäläisyyttä matematiikan äärettömän ja 'irl-äärettömän' (mitä se sitten lieneekään) väillä. Matematiikka on matematiikkaa (tavallaan irrallista teoriaa) ja jos käsite sen teorian sisällä toimii, niin ok.

      Luonto itsessään on sen verran ihmeellinen, että sen matematisoiminen tarkasti voi tuottaa liika täydellisyyden tavoittelijalle harmaita hiuksia ennen aikojaan. Esim. mikä olisi tarkka rantaviivan pituus, pitääkö joka kivi ja hiekanjyväkin kiertää ja laskea mukaan, ja jos kivessä sammalta jossa vesi nousee niin mistä kohtaa lasketaan.... :)

    • gdgd

      Koska luku 1 voidaan ajatella transfiniittisena lukuna. Eli kun R=ääretön luku, niin minkä tahansa ordinaalilukujen välille voidaan sijoittaa 1/R. Matemaatikot (esimerkiksi Newton) olivat pitkään pohdiskelleet millä tavalla voitaisiin sivuuttaa pienuuden äärettömyyden kummallisuus, ja vähitelleen kehittyivät differentiaali- ja integraalilaskenta. Eli raja-arvon ajatellaan saavuttavan päätepisteensä vaikka jakojäännös olisikin 1/R, eli infinitesimaalisen pieni.

      Oikeastaan infinitesimaali on hyvin paljon läsnä raja-arvotutkimuksissa; matematiikka on vain haluttu pitää käytännöllisempänä koska kuitenkin voidaan saavuttaa sama looginen lopputulos kun jätetään infinitesimaali kokonaan huomioimatta. Se ei kuitenkaan todista puolesta eikä vastaan kun puhutaan transfiniittisten lukujen olemassaolosta, kaiken äärellisyyttä kun ei voida pitävästi todistaa.

    • nbjr

      Mitä ihmeen hölynpölyä yrität esittää? Transfiniittesella ordinaali- tai kardinaaliluvulla ei ole mitään tekemistä infinitesimaalin kanssa. Epästandari analyysi teki siitä täsmällisen, mutta se ei liity asiaan mitenkään.

      • gdgd

        Transifiniittista ordinaalilukuahan voi käsitellä jakamalla sen äärettömän moniin osiin, kuten esim. Zenonin paradoksissa. Eli jos ajatellaan 0 ja 1 väliä, niin niiden välille voidaan sijoittaa pistejoukot M1, M2, M3 ja M(omega) jossa jokainen pistejoukko Mi on sellainen, että tarkastelemalla sitä järjestettynä joukkona ja abstrahoimalla se ordinaaliluvuksi Mi, jolloin päädytään omega^i:hin (omega on siis viimeisen ordinaaluvun lim(a) raja-arvo joka on kasvavien ordinaalukujen a jonon jokaista a:ta suurempi).

        Zenonin paradoksin mukaisesti äärellistä matkaa jaettaessa äärettömään moneen väliin perille pääsemiseen vaadittaisiin se omega askelta. Tässä suhteessa infinitesimaalinen luku kuvaa sitä pienintä kuvailtavissa olevaa väliä.


      • nbjr
        gdgd kirjoitti:

        Transifiniittista ordinaalilukuahan voi käsitellä jakamalla sen äärettömän moniin osiin, kuten esim. Zenonin paradoksissa. Eli jos ajatellaan 0 ja 1 väliä, niin niiden välille voidaan sijoittaa pistejoukot M1, M2, M3 ja M(omega) jossa jokainen pistejoukko Mi on sellainen, että tarkastelemalla sitä järjestettynä joukkona ja abstrahoimalla se ordinaaliluvuksi Mi, jolloin päädytään omega^i:hin (omega on siis viimeisen ordinaaluvun lim(a) raja-arvo joka on kasvavien ordinaalukujen a jonon jokaista a:ta suurempi).

        Zenonin paradoksin mukaisesti äärellistä matkaa jaettaessa äärettömään moneen väliin perille pääsemiseen vaadittaisiin se omega askelta. Tässä suhteessa infinitesimaalinen luku kuvaa sitä pienintä kuvailtavissa olevaa väliä.

        Zenonin paradoksissa ei käsitellä ordinaalilukuja ollenkaan. Cantor keksi ne kauan sen jälkeen. Ei tuollaista jaksa. Olet kuin Pekonen ja muut hölynpölynsä kanssa. Anna olla helvetissä.


    • gdgd

      Mutta Zenonin paradoksista on kuitenkin kehitelty eri muotoja, jossa ordinaali-/kardinaaliluvut edustavat etäisyyttä. Eräs suosikkini on vertaus henkilöstä joka lähestyy ovea ensin 1/2 matkaa, sitten 1/4, sitten 1/8... 1/ääretön. Kyseinen paradoksi tietenkin voidaan sanoa olevan ratkaistu kun äärettömän pieniin osiin kutistuvan sarjan summan (1/2 1/4 1/8 ...) voidaan todeta olevan 1, mutta silti jäljellä on hiven tyytymättömyyttä. Jos etäisyys aina puolitetaan, ei koskaan päästä todella ovelle saakka; mielivaltaisen lähelle, mutta ei koskaan aivan perille.

      Tämä on aivan normaalia matematiikkaa, joskin vanhempaa sellaista. Se, että kysymykset äärettömyyden pienuudesta eivät enää ole niin ajankohtaisia kuin ne olivat ennen nykyisen raja-arvotutkimuksen kehittymistä, ei muuta niiden arvokkuutta ja keskeistä sijaa matematiikan saralla.

    • Tohtori Lehtinen

      Vai menee numeroiden 0 ja 1 väliin ääretön määrä lukuja..

      Voisitko ensialkuun näyttää vaikka 1000000 lukua jotka on noiden välissä

      • yksi vain

        1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/1000001

        Siinä on miljoona eri lukua, jotka kaikki ovat suurempia kuin 0 ja pienempiä kuin 1.


      • Professori Lehtinen
        yksi vain kirjoitti:

        1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/1000001

        Siinä on miljoona eri lukua, jotka kaikki ovat suurempia kuin 0 ja pienempiä kuin 1.

        Kerroi vasta neljä lukua...

        Oisko aika vastata väitteisiin, miljoona on kuitenkin "hieman" pienempi kuin ääretön, joten ei pitäisi olla mikään ongelma


    • ....,,,,

      On se ääretön suuri luku, kun sillä kerrotaan nolla, saadaan tuloksi yksi.

      • yksi vain

        Ei, ääretön ei ole luku. Ei siis ainakaan reaaliluku (mitä luvulla kai normaalisti tarkoitetaan, ellei erikseen täsmennetä tarkoitettavan jotain muuta).


    • 1234321

      Reaalilukujen 0 ja 1 väliset loputtomat reaaliluvut voidaan todistaa monellakin tavoilla. Esitän erään tavan.

      Aloitetaan luvusta 1. Puolitetaan se. Saadaan 0,5. Puolitetaan se. Saadaan 0,25. Puolitetaan se. Saadaan 0,125,

      Kun tätä prosessia jatketaan, huomataan, että jokaisela puolituksella luku jähestyy nollaa, muttei koskaan saavuta sitä, koska ei ole muuta lukua x, joka toteuttaa yhtälön x/2=0, kuin 0 itse.

      Näin voidaan todeta, että lukujen 0 ja 1 välillä on loputon määrä reaalilukuja.

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Stefu LOISTAVAA!

      Ilmeisesti joku vedonlyönti tms, selvinpäin-elämästä👍👍👍 ilmankos ei ole Sofiaa näkynyt. Miten tän parin nyt käy, kun viimi ei maksettuna enää virta
      Kotimaiset julkkisjuorut
      134
      1987
    2. Msisa on eronnut

      Mies ei kestänyt jatkuvia syrjähyppyjä eikä totuutta Turun yöstä.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      29
      1021
    3. Missä sinuun mies voisi

      näin pääsiäisenä vahingossa törmätä? Ei ilmeisesti missään?
      Ikävä
      69
      872
    4. Venäläisiä keksintöjä?

      Kun tässä nyt yritän miettiä venäläisiä keksintöjä, niin ei äkkiseltään tule oikein yhtään mieleen. Onko niitä edes?
      Maailman menoa
      261
      757
    5. Tiedän että on aika luovuttaa

      En vaan osaa. Liian kauan toivonut jotain, mikä ei koskaan tule toteutumaan. Olo ei ole mitenkään hyvä, mutta itken vähemmän kuin silloin kun sinuun r
      Ikävä
      65
      749
    6. Raviskalla tappo?

      Huhuja liikkuu et raviskalla ois joku laitettu kylymäksi?
      Oulainen
      12
      721
    7. Katumuksesta

      Pitkäperjantaina eräässä seurueessa puhuttiin katumisesta ja mitä itse kukin katuu. Yleisintä tuntui olevan pahasti sanominen jollekin läheiselle ja t
      Sinkut
      132
      685
    8. Sun mies on mun

      Sinun mies on yksin minun ja sinä et voi sille mitään.
      Ikävä
      83
      680
    9. Et arvaa nainen, miten ikävä mulla on sinua.

      Sinua ei voi unohtaa. Pusu sulle musulle!
      Ikävä
      26
      666
    10. Sisällissota kiihtyy Ruotsissa

      KaupunkiTaistelut koraanin puolesta kiihtyneet Linköpingissä ja Malmössä. Ruotsin poliisi joutunut vetäytymään suojiin. Päätän raporttini Ruotsista.
      Maailman menoa
      208
      663
    Aihe