Osaisiko joku neuvoa miten derivoidaan? Seuraaviin tehtäviin tarvitsisin apua:
Johda derivaatta määritelmän nojalla:
a) f'(3), kun f(x)=2x^2
b) f'(5), kun f(x)=x-x^2
c) f'(-1), kun f(x)= x^2-4
Johda derivaatta määritelmän nojalla:
a) f'(3), kun f(x)=2x^2
b) f'(5), kun f(x)=x-x^2
c) f'(-1), kun f(x)= x^2-4
Vastaukset 12
Vanhimmat
Pientä vihjettä ensin: määritelmänsä mukaan f'(x) = lim [f(x h) - f(x)]/h, kun h lähenee nollaa.
Sillon a-kohdassa f(3) = lim [2(3 h)^2 - 2⋅3^2]/h, kun h → 0.
Siitä vain sieventämään.
Tai sitten vaihtoehtoinen, mutta ekvivalentti määritelmä
f'(x_0) := lim ( f(x) - f(x_0) ) / ( x - x_0 ) kun x -> x_0
jota voi käyttää yhtäpitävästi edellisen viestin kirjoittaman esittämän määritelmän kanssa. Tilanteesta riippuen toisella tapaa derivointi voi olla merkittävästi yksinkertaisempaa.
Tuo derivaatan pilkku erottuu noin kirjoitettaessa hirveän huonosti. Kannattaa kirjoittaa muotoon f '(x) tai D(f(x)).
http://aijaa.com/0091210539133
Derivoida voi monella tavalla.
Esim n*X-(n-1)
((n-1) on potenssina X:n yläpuolella.
Korjatkaa jos meni väärin
Mutta kuten X=3
n=2002
2002*3 pontenssina 2001
Vähän vaikea lukea oletko tosissasi, mutta AP haki varsin selväsanaisesti derivointia määritelmän mukaisena raja-arvona, ei "derivointisäännöillä".
Fiksu koululainen tietysti johtaa potenssin, vakiolla kertomisen ja erotuksen derivoinnin säännön derivaatan määritelmästä ja *sitten* soveltaa derivointisääntöjä. Opettajalla ei pitäisi olla siihen nokan koputtamista, mutta asiallisesti epäpätevä opettaja voi toki urputtaa mistä tahansa, varsinkin fiksuimmasta ratkaisusta.
Toki näin, mutta jos haluaa hermojaan säästää (opettajan valitukselta), voi olla järkevämpää tehdä niin kuin odotetaan.
Tangentti ja normaali derivaatta tehtävätkin tuottavat ongelmia:
1. Missä käyrän y=(x^3/3) (3x^2/2) (1/2) pisteissä käyrän tangentti on x-akselin suuntainen? Ilmoita näihin pisteisiin piirrettyjen käyrän normaalien yhtälöt.
2.Johda käyrälle y=-x^2 7x-9 kohtaan x=2 asetetun tangentin yhtälö.
1. Missä käyrän y = x³/3 3x²/2 1/2 pisteissä käyrän tangentti on x-akselin suuntainen? Ilmoita näihin pisteisiin piirrettyjen käyrän normaalien yhtälöt.
Tangentin ollessa x-akselin suuntainen kulmakerroin on nolla.
Merkitään f(x) = x³/3 3x²/2 1/2
f´(x) = x² 3x
Määritetään derivaatan nollakohdat.
f´(x) = 0
x² 3x = 0 (Otetaan x yhteiseksi tekijäksi ja käytetään tulon nollasääntöä.)
x(x 3) = 0
x = 0 tai x = -3
f(0) = ½ ja f(-3) = 5
Pisteet ovat siis (0, ½) ja (-3, 5).
Normaalien yhtälöt taas ovat x = -3 ja x = 0.
2.Johda käyrälle y= -x² 7x - 9 kohtaan x = 2 asetetun tangentin yhtälö.
Merkitään taas f(x) = -x² 7x - 9
f(2) = -2² 7 * 2 - 9 = 1
f´(x) = -2x 7
k = f´(2) = -2 * 2 7 = 3
Nyt pystymme muodostamaan tangentin yhtälön:
y - 1 = 3(x - 2)
y - 1 = 3x - 6
y = 3x - 5
tämä edellinen oli harvinaisen helppo ja hyvä.