Revolverisankarit Hyvä, Paha ja Ruma käyvät kolmintaistelun. Säännöt ovat sellaiset, että kukin saa vuorollaan ampua yhden laukauksen tappaakseen valitsemansa vastustajan. Aloitusvuoro ja kiertosuunta arvotaan. Ampumista jatketaan niin kauan, kunnes enää yksi on elossa. Kukin pyrkii maksimoimaan eloonjäämistodennäköisyytensä. Miehet voivat halutessaan ampua vastustajansa kuoliaaksi seuraavilla todennäköisyyksillä: Hyvä 1, Paha 0,8, Ruma 0,5. Kenellä on suurin mahdollisuus säilyä hengissä ja millä todennäköisyydellä?
Kolmintaistelu
Lännenmies
8210
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 8
Vanhimmat
Tarkastellaan ensin startegioita tilanteessa, missä ampujia on kolme jäljellä:
Jos on Ruman vuoro, hänen kannattaa ampua tahallaan ohi. Jos hän ampuu kohti ja osuu, kuolee hän itse heti perään tn:llä 1 jos hän ampui Pahan ja tn:llä 0,8 jos hän ampui Hyvän. Sen sijaan jos joku muu ampuu jonkun muun ensin, on hänellä 0,5 tn osua ja voittaa heti seuraavalla laukauksella.
Koska Ruman kannattaa vuorollaan ampua tahallaan ohi kun kaikki ovat vielä elossa, ei ampumisjärjestyksellä sinänsä ole väliä. Tarvitsee vain tarkastella tilanteet, missä Hyvä ampuu ennen Pahaa ja Paha ennen Hyvää (tn 0,5 kumpikin).
Hyvän ja Pahan kannattaa kummankin vuorollaan ampua toista. Jos he eivät näin tee, kuolevat he 1,0 tai 0,8 tn:llä kun koittaa sen toisen vuoro.
Jos Paha ampuu ennen Hyvää, tappaa hän Hyvän 0,8 tn:llä. Tällöin päädytään kahden ampujan taisteluun Ruma - Paha, missä Ruma ampuu ensin. Tämän loppupelin tn on siis 0,4. Jos Paha ampuu ohi, päädytään samaan tilanteeseen, kuin että Hyvä ampuu ensin (alla).
Jos Hyvä ampuu ennen Pahaa, tappaa hän Pahan varmasti, ja päädytään loppupeliin Ruma - Hyvä, missä Ruma ampuu ensin. Tämän loppupelin tn on yhteensä 0,6, kun huomioidaan edellisen vaihtoehdon (Paha ampuu ennen Hyvää) tulos, missä Paha ampui ohi.
Loppupelit ovat siis:
0,4 tn:llä Ruma - Paha, Ruma ampuu ensin
0,6 tn:llä Ruma - Hyvä, Ruma ampuu ensin
Ensinmainitussa Ruma osuu 0,5 tn:llä. Jos hän ei osu, saa hän uuden yrityksen 0,2 tn:llä jne. Tn, että Ruma voittaa on siis 0,5 0,2*0,5 0,2^2*0,5 ... Tämä on geometrinen sarja, minkä ratkaisuna on Ruman voitto 0,625 tn:llä (ja Pahan voitto 0,375 tn:llä).
Jälkimmäisessä tilanteessa Ruma osuu 0,5 tn:llä, ja jos hän apuu ohi, ei hän saa uutta tilaisuutta. Todennäköisyydet siis 0,5 Rumalle ja 0,5 Hyvälle.
Kokonaistodennäköisyys parhaalla strategialle on siis:
Hyvä voittaa: 0,6 * 0,5 = 0,3
Paha voittaa: 0,4 * 0,375 = 0,15
Ruma voittaa: 0,6 * 0,5 0,4 * 0,625 = 0,55
Haska tehtävä muuten. :)
Ihan oikein. Opetus on, että heikoin voi olla vahvoilla, kun kaksi vahvempaa keskittyvät toistensa eliminoimiseen. Demokratiassakin käy usein niin.
eli Nokia voittaa kun Apple ja Samsung kuristavat toisensa hengiltä?
Itse pähkäilin jotain tällaista:
1.) HRP tai HPR tai RHP
Näissä tapauksissa Paha ei voi voittaa, koska Hyvä tappaa hänet varmasti vuorollaan. Tämän jälkeen Ruma yrittää tappaa Hyvän. Näin ollen Ruma voittaa todennäköisyydellä 0,5 ja siten Hyvä taas 0,5.
2.) PHR tai PRH tai RPH
Hyä voittaa: 0,2*0,5 = 0,1
Ruma voittaa:
0,2*0,5 (0,8*0,5 0,8*0,5*0,2*0,5 0,8*0,5*0,2*0,5*0,2*0,5 ...)
= 49/90
Paha voittaa:
0,8*0,5*0,8 0,8*0,5*0,2*0,5*0,8 0,8*0,5*0,2*0,5*0,2*0,5*0,8 ...
= 16/45
Huomioimalla molemmat kohdat saadaan:
P("Hyvä voittaa") = 0,5*0,5 0,5*0,1 = 0,3
P("Paha voittaa") = 0,5*0 0,5*16/45 = 0,1777... ≈ 0,18
P("Ruma voittaa") = 0,5*0,5 0,5*49/90 = 0,5222... ≈ 0,52
Olen ehkä vain liian väsynyt, mutta en hoksaa tekemääni virhettä. :(
Joo, olet oikeassa. Tuossa Yksi vain laskelmassa Ruman voitto Pahaa vastaan pitäisi laskea seuraavasti: R osuu R ei osu * P ei osu * R osuu R ei osu * P ei osu * R ei osu * P ei osu * R osuu... = 0,5 0,5*0,2*0,5 0,5*(0,2*0,5)^2 ...
Sitä minä vähän mietinkin. Hyvä, että selvisi.
Kiva tehtävä muuten minunkin mielestäni.
oikeat vastaukset jäivät nyt vähän epäselviksi.
P("Hyvä voittaa") = 0,3
P("Paha voittaa") ≈ 0,18
P("Ruma voittaa") ≈ 0,52