Todistaminen

Et selvästikään ymmärrä matemaattista todistamista.

Tuossa oli looginen johtopäätös, jonka vedin kirjoittamastasi viestistä.

Olet todistanut edellyttäen että premissit todellakin ovat tosia eli

1) Aina kun sataa vettä olet sisällä (sokeristako olet tehty?)
2) Ulkona sataa (vai paistaisiko aurinko, ainakin ilmatieteenlaitoksen mukaan?)

No jos nuo kohdat 1 ja 2 pitävät paikkansa niin olet tehnyt oikean johtopäätöksen käyttäen päättelysääntöä "modus ponens" ja siis olet sisällä näiden tietojen perusteella.

Oikein hienosti meni.

Matemaattiseen todistamiseen on useita menetelmiä.

Suora todistus on antamasi esimerkin kaltainen. Siinä haluttuun todistettavaan tulokseen päädytään johdonmukaisesti aiemmin todistetuista asioista. Osoitetaan siis, että koska nämä aiemmat asiat ovat tosia, täytyy tuloksenkin olla tosi.

Induktiotodistuksessa todistetaan yksi perustapaus ja lisäksi, että jos jokin tapaus pitää paikkansa, täytyy seuraavankin pitää. Tätä käytetään usein "Todista että kaikille luonnollisille luvuille..." tyyppisissä todistuksissa. Todistetaan, että väite pätee luvulle n = 1, ja todistetaan lisäksi, että jos väite pätee jollekin luvulle n, täytyy sen myös päteä luvulle n 1.

Epäsuorassa todistuksessa taasen oletetaan, että todistettava tulos on epätosi ja osoitetaan, että tästä seuraa ristiriita. Koska väite ei siis voi olla epätosi, täytyy sen olla tosi. (Loogisesti tämä vastaa sitä, että väitteet "jos A niin B" ja "jos ei B niin ei A" ovat ekvivalentteja.)

Lisäksi joissain todistuksissa voidaan käyttää konkreettisia yksittäisiä esimerkkejä, yleensä osoittamaan, että jokin väite ei ole tosi, esimerkiksi tuollaisen epäsuoran todistuksen yhteydessä osoittamaan ristiriidan olemassaolo.