Painosarjasta tiedetään, että se sisältää viisi pareittain eripainoista painoa. Lisäksi
tiedetään, että mitkä tahansa kaksi painoa valitaankaan, löytyy toiset kaksi, joiden
yhteenlaskettu paino on täsmälleen sama on kahden valitun painon yhteenlaskettu
paino. Kuinka monta painoa sarjassa vähintään on?
tiedetään, että mitkä tahansa kaksi painoa valitaankaan, löytyy toiset kaksi, joiden
yhteenlaskettu paino on täsmälleen sama on kahden valitun painon yhteenlaskettu
paino. Kuinka monta painoa sarjassa vähintään on?
Vastaukset 11
Vanhimmat
Olisikohan vastaus 13.
Helposti todetaan, että pienimpiä samoinkuin suurimpia painoja pitää kumpiakin olla vähintään neljä kappaletta.
Samoin todetaan, että toiseksi pienimpiä ja toiseksi suurimpia pitää kumpiakin olla vähintään kaksi kappaletta.
Tästä saadaankin jo vähimmäismääräksi 13 kappaletta.
Se, että tämä riittää, selviää esimerkiksi tarkastelemalla painosarjaa
1 1 1 1 2 2 3 4 4 5 5 5 5 yksikköä.
Siinä kahden painon summa voi saada arvokseen 2-10 yksikköä ja jokainen voidaan muodostaa vähintään kahdella eri punnusten valinnalla.
Tunnustan olevani tämän yllä esitetyn ratkaisun takana. Esitin sen nimettömänä, jotta en häiritsisi siitä käytävää keskustelua. Mitään keskustelua ei kuitenkaan ole syntynyt, joten kommentoin tehtävää vielä.
Mielestäni tehtävä oli hyvä. Se on varsin helposti ratkaistavissa. Itseasiassa siihen ei tarvita edes peruskoulun matematiikan hallintaa. Itselläni siihen ei toki mennyt muutamaa minuuttia enempää aikaa. Periaate oli heti selvä, mutta ratkaisun muotoilu vei hetken aikaa. Kuitenkin tehtävä voi joillekin tuottaa suuriakin vaikeuksia, jos henkilö ei hoksaa ongelmaan oikeaa lähestymistapaa. Kokeilkaahan tarjota sitä matematiikasta kiinnostuneille tutuillenne tai koulutovereillenne (tai matematiikan opettajallenne) ratkaistavaksi (jos he eivät satu olemaan tämän palstan lukijoita).
Mitä tehtävän muotoiluun tulee, siinä käytettiin sanaa 'paino' korvaamaan sekä sanaa 'punnus', että 'punnuksen massa'. Tämä voi aiheuttaa pientä sekaannusta. Itse arvelisin kuitenkin ymmärtäneeni tehtävän asettelun tarkoitetulla tavalla.
Odottelen edelleen tehtävän asettajan kommentteja asiaan.
Tehtävän muotoilu ei ole täydellinen, olisi kyllä voinut käytää termiä "massa", sillä paino tarkoittaa "painovoimaa" eikä se ole kappaleen ominaisuus (ts maassa ja kuussa kappaleella on sama massa, mutta eri paino). Hyvin tehtävä on kyllä ymmärretty, eli on pohdittu sitä, miten kyseinen tilanne saadaan aikaan.
Samaa mieltä kanssasi. Hyvä tehtävä ja helppo jos tietää, miten tuollainen tehtävä ratkeaa. Kiinnostaisi tietää, miten olisit häirinnyt keskustelua jos olisit kirjoittanut sen profiilillasi?
No, kaikki eivät ehkä katso hyvällä sitä, jos ns. 'ammattimatemaatikko' ehättää tällaiseen pikku ongelmaan ensimmäisenä vastaamaan. Itse olen koulutukseltani lisensiaatti diskreetin matematiikan (lukuteoria) alalta ja työskennellyt monta vuotta yliopistossa. En nyt kuitenkaan malttanut mieltäni, kun ongelma näytti ensi silmäyksellä mielenkiintoiselta.
Mutta asiasta toiseen. Mitä mieltä olette siitä, voitaisiinko esim. pitkän matematiikan ylioppilaskirjoituksissa käyttää tämän tyyppisiä tehtäviä? Nykyisinhän ylioppilaskirjoituksissa sallitaan symbolisten laskimien käyttö. Tällainen tehtävä edellyttää pientä pohdiskelua eikä sen ratkaiseminen pelkällä laskimella taida abiturienteilta ihan helposti onnistua. Itse en saa mieleeni, että tällaisia tehtäviä olisi yo-kirjoituksissa esiintynyt. Sen sijaan se voisi olla tyypillinen yliopistojen tai korkeakoulujen pääsykoetehtävä tai osa siitä.
Tehtävä on kyllä harvinaisen huono. Tuo "viisi pareittain eri painoista painoa", mtä se tarkoittaa ? Esm. tuossa annetussa sarjassa löytyy pareja:
(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,5)(4,5), ja jää 5 , eli kuusi pareittain eri painoista painoa.
Siitä saa kyllä viisi pareittain eri painoistakin painoa:
(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,4) ja jää 5,5,5 eli yksi pareittain samanpainoinen pari.
Sarjassa: 1111222334444 on parit:
(1,2)(1,3)(1,4)(2,4)(3,4), ja jää 1,2,4, joista tulee vielä joko(1,2)(2,4) tai (1,4), siis siinä on viisi pareittain eripainoista painoa, yksi pari tosin kahteen kertaan.
Kolmetoista tässäkin kuitenkin lukumäärä on.
Viikon tätä olen nyt pähkäillyt, ja jos se ei siinä ajassa aukene, niin tehtävä ei ole hyvä, ja tuo määritelmä "viisi pareittain eri painoista painoa" on "syvältä".
"Mutta asiasta toiseen. Mitä mieltä olette siitä, voitaisiinko esim. pitkän matematiikan ylioppilaskirjoituksissa käyttää tämän tyyppisiä tehtäviä? "
Tjaah. Minusta on hyvä, että kokelailla olisi myös ajattelua tai keksimistä vaativia tehtäviä. Toisaalta jos kokeessa olisi yksi tällainen ajattelutehtävä ja 14 suoraviivaista, niin luultavasti valtaosa valitsisi kymmenen suoraviivaista tehtävää.
Näin kouluaikana ja omilla yksityisopetustunneilla monien kohdalla aika paljon ongelmia ihan perustehtävissä. Veikkaisin, että he eivät edes uskaltaisi miettiä tällaisia tehtäviä. Kuitenkin YO-kokeiden tehtävien tarkoituksenahan on käsittääkseni saada hajontaa tehtävien pisteisiin, ei se, että huiput saavat tehtävästä 6 pistettä ja valtaosa 0.
Varmaankin ne, jotka pitävät tällaista tehtävää helppona tai helpohkona, osaavat itsenäisesti etsiä tarpeeksi haastavia tehtäviä muutenkin.
Nimimerkille '3 12'
Et nyt ole oikein ymmärtänyt tehtävää.
Tuolla 'viisi pareittain eripainoista painoa' tarkoitetaan sitä, että punnussarjasta löytyy viisi sellaista punnusta, että valitaan niistä mitkä tahansa kaksi kappaletta, niiden massat ovat eri suuret. Toisin sanoen kaikki nämä viisi punnusta ovat massaltaan erisuuria.
No miksei siinä lue sitten, että:
On läjä punnuksia, viittä eri kokoa.
Lisäksi tiedetään, että mitkä tahansa kaksi punnusta valitaankaan, löytyy toiset kaksi, joiden yhteenlaskettu paino on täsmälleen sama on kahden valitun punnuksen yhteenlaskettu paino. Kuinka monta punnusta läjässä vähintään on?
Miksi siinä höpötetään jostain viidestä pareittain eripainoisesta painosta?
Tai miksi siinä sanotaan pareittain, miksei sanota kolmittain, neljittäin, viisittäin tai yksittäin eri painoisista painoista ? Sama asiahan se olisi.
Ei sanota, koska tarkoitetaan, että koko kasasta ei ole mahdollista löytää kuin viittä erilaista punnusparia.
Tehtävä on varmaan surkein koskaan täällä päivätolkulla kehuttu , ja tämmöisiä vielä muka johonkin pääsykokeisiin.
Kyllä tuo sanontatapa 'pareittain erisuuria' on melko vakiintunutta terminologiaa yliopistomatematiikassa. Se sisältää (implisiittisen) ajatuksen siitä, että lukujen vertailu voi tapahtua vain kahdelle luvulle kerrallaan.
Siis, jos sanotaan vaikkapa:
'Olkoot luvut x_1,x_2,...,x_n pareittain erisuuria kokonaislukuja...'
niin tällä tarkoitetaan samaa kuin sanonnalla
'Olkoot luvut x_1,x_2,...,x_n kaikki keskenään erisuuria kokonaislukuja...'
Tuohon tehtävän sanalliseen muotoiluun kiinnitin kyllä jo edellä hiukan huomiota.
Mutta älkäämme antako epäoleellisten pikkuseikkojen pilata hauskojen pikku pähkinöiden meille suomia älyllisiä nautintoja.