Itkuhan tässä tulee kun ei osaa tehrä tätä...
x y z = 1
x 2y-z=1
3z 4y-cz=3
x, y, z muuttujia, c parametri
Pitäisi kirjoittaa yhtälöryhmän esitys matriisimuodossa ja lisäksi kertoa, millä parametrin arvolla yhtälöryhmällä äärettömän monta ratkaisua.
Ja kun noista matriiseista on jo monta vuotta, niin en osaa enkä muista mitään. :( Kiitos!
x y z = 1
x 2y-z=1
3z 4y-cz=3
x, y, z muuttujia, c parametri
Pitäisi kirjoittaa yhtälöryhmän esitys matriisimuodossa ja lisäksi kertoa, millä parametrin arvolla yhtälöryhmällä äärettömän monta ratkaisua.
Ja kun noista matriiseista on jo monta vuotta, niin en osaa enkä muista mitään. :( Kiitos!
Vastaukset 6
Vanhimmat
Matriisimuodossa otetaan ensiksi kertoimet, sitten muuttujat ja oikealle vakiot. En tiedä miten saan palstalle näkyviin. Jotenkin
|1 1 1| |x|
|1 2 -1||y|=
|4 3 -c||z|
|1|
|1|
|3|
Tässä | on matriisin reunojen merkintä. Voit ratkaista c:n kun käytät ensiksi Gaussin algoritmia ja väännät 3x3-matriisin porrasmuotoon tehden samat rivioperaatiot oikean puolen matriisille. Alimmalle riville pitää tulla identtinen yhtälö, josta c ratkeaa.
Toi kerroinmatriisi meni väärin. Sori. Pitää olla
|1 1 1|
|1 2 -1|
|0 4 3-c|
Olen laittanut 3. yhtälön muotoon 3x 4y-cz (eikä 3z 4y-cz).
Matriisiksi A tulee:
A=
1 1 1
1 2 -1
3 4 -c
Pystyvektoriksi b tulee
b=
x
y
z
tulovektoriksi d tulee
1
1
3
Matriisivektoritulo on
Ab=d
Ratkaisuksi saadaan
b=A^(-1)d
Tässä on hankala kirjoittaa käänteismatriisin A^(-1) lauseketta, joten katso se kirjasta. Käänteismatriisi on olemassa, jos det(A) \not = 0 eli determinantti on nollasta poikkeava. Jos det(A)=0, niin ratkaisuja on äärettömästi.
Matriisin determinantti on geometrisesti ajatellen matriisin sisältämien vektoreiden virittämän hypersuunnikkaan tilavuus. Mitä ortogonaalisempia vektorit ovat, sitä suurempi on tilavuus ja sitä paremminkäyttäytyvä ongelma on. Toisaalta jos vektoreita on esim. 3 kpl, kuten tehtävässä on asian laita, ja jos ne virittävät vain 2-ulotteisen aliavaruuden, niin tilavuus=0, jolloin käänteismatriisia ei ole olemassa tai se on pseudomielessä äärettömän suuri.
Yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua, jos yhtälöiden välillä on lineaarinen riippuvuus. Nähdään helposti, että jos ensimmäinen yhtälö kerrotaan kahdella ja summataan toisen yhtälön kanssa, ja summasta vähennetään kolmas yhtälö, saadaan z cz=0. Jos c=-1, ryhmä toteutuu kaikilla z:n arvoilla.
Tee noista x:n, y:n ja z:n kertoimista matriisi ja laske sen determinantti. Tutki sitten, millä c:n arvolla determinantti = 0
Täytyy myös tarkistaa, että tuo (1,1,3) saadaan joillakin (x,y,z) eli, että se kuuluu kyseessä olevan lineaarikuvauksen (jonka matriisia tarkastellaan) arvojoukkoon. Silloin ratkaisuja on äärettömän monta, jos nolla-avaruudessa on äärettömän monta vektoria (ts. jos siellä on jokin epätriviaali s.o nollasta eroava vektori).