Yksinkertainen tehtävä, mutta ratkaisu ei taida olla ihan simppeli. On kulma, suuruus a, ja jana, pituus l. Jana sijoitetaan niin, että sen päätepisteet ovat kulman kyljillä. Mikä on näin muodostuvan kolmion suurin mahdollinen pinta-ala. Maksimaalisuus on todistettava.
Kulmajanapulma
zsexdrcft
1583
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 15
Vanhimmat
Muistaakseni laskin tehtävän aikoinaan. Jotenkin ensiksi piti osoittaa kolmiom tasakylkisyys.
Tuota samaa minäkin ajattelin, mutten ole tästä mitenkään vakuuttunut:
http://aijaa.com/PCro0W
Niin, no en minäkään tiedä, miten se päätellään formaalisti. Ajattelin asiaa koordinaatistossa, jossa l pituinen jana on y-akselilla, keskipiste origossa. Nyt kaikki kulmat, josta jana näkyy kulmassa a, muodostavat kaksi ympyrää, joille l-pituinen jana on ympyröiden jänne. Nyt näiden ympyröiden kehäpisteen itseisarvoltaan suurin koordinaatti löytyy x-akselilta (alahan on 1/2*l*itseisarvo x). Tällöin symmetrian nojalla kolmio on tasakylkinen.
Korjataan nyt ainakin sitä:
http://aijaa.com/0lAKR9
Ja taas vähän korjausta ja lisääkin
http://aijaa.com/n5aCeh
Jos alapää liikkuu matkan z, niin yläpää liikkuu jotain muuta, koska kosinilause ei enää täsmää, joten väärin on. Lopetan nyt tämän tehtävän ja lähden välillä töihinkin.
Itse laskeskelin ensin näin:
Kosinilause: l^2=x^2 y^2-2*x*y*cosa (x ja y kulman kyljet)
Differentiointi: 0=2*x*dx 2*y*dy-2*y*cosa*dy-2*x*cosa*dy
Mistä: dy/dx=-(x-y*cosa)/(y-xcosa)
Kolmion pinta-ala: A=x*y*sina/2
Derivointi: dA/dx=y*sina/2 x*(dy/dx)*sina/2
Sijoittamalla: dA/dx=(y^2-x^2)*sina/(y-x*cosa)
Tuosta nähdään,että kun x lähtee kasvamaan nollasta, pinta-ala kasvaa kunnes x=y, sen jälkeen pienenee. Kohdaan y=x*cosa jälkeen tarvitaan lisätarkasteluja.
Jatketaas taas ja lasketaan se lyhenevän kateetin pituus y Wolframilla, ja olen heti käyttänyt kulmaa 45 astetta.
L^2=(L x)^2 y^2-sqrt(2)*y*(L x)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=L^2=(L x)^2 y^2-sqrt(2)*(L x)*y
Otetaan se plus tapaus y, ja derivoidaan x:n suhteen, ja laitoin L=1
http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivate sqrt(2)/8*(sqrt(2-4*x-2x^2) sqrt(2) sqrt(2)x))*(1 x)
Ääriarvo on kohdassa x=0.30656, ja lasketaan sitten ala:
http://www.wolframalpha.com/input/?i= y=sqrt(2)/8*(sqrt(2-4*x-2x^2) sqrt(2) sqrt(2)x))*(1 x) , x=0.3056
Tuli alaksi A=0.603551, ja jos siihen laitetaan se L^2, niin 0.603551*L^2
Tässä ketjussa on jossain se oikea maksimi ala , joka kulman arvolla 45 astetta on likiarvona sama.
Enen tuota derivointia olen tietysti muodostanut sen alan lausekkeen:
A=½*sqrt(2)/2*y*(x 1), ja tätä sitten derivoin, taikka minä mitään derivoi, paitsi sähköllä...
Tossa on vielä kuvaakin.
http://aijaa.com/YLSUPX
( laskuissa oli pakko käyttää kulma=45, ja L=1, ei tullu muuten mitään, ja max alaksi tuli siis se noin 0,6 )
Tämmöiseen nyt päädyttiin:
http://aijaa.com/a4BbJG
http://aijaa.com/YLSUPX ,( kuvassa x=L z, a y:ksi tulee myös L z, silloin kun ala on maksimissaan)
Itse laskeskelin tehtävän hieman samalla tavoin kuin aeija: differentioin kosinilausefunktion jolloin sain derivaatan dy/dx. Derivoimalla alan lauseke x:n suhteen ja sijoittamalla em. derivaatta päädyttiin lausekkeeseen, josta voi päätellä tasakylkisen kolmion tuottavan maksimin.
Matikistin ratkaisu näyttää kuitenkin yksinkertaisemmalta. Siinähän tarkastellaan l pituista janaa jänteenä ja sitä vastaavia a:n suuruisia kehäkulmia. Tästä voidaan ääriarvo päätellä pelkästään geometrisesti. Se voidaan määrittää myös laskennallisesti esim. olettamalla, että jana l on x-akselilla välillä (-l/12, l/2). Tällöin saadaan sellaisen ympyrän yhtälöksi, jolla jännettä l vastaa kehäkulma a:
x^2 (y-l/2*tan(a))^2 = (l/2*sin(a))^2
Tuossa y on kantaa l vastaava kolmion korkeus, ja koska l on vakio, on korkeus suoraan verrannollinen kolmion pinta-alaan. Nähdään suoraan, että x=0 antaa y:lle (ja samalla kolmion alalle) maksimiarvon. Tämä maksimiarvo on
A = l^2*(1 cos(a))/4*sin(a)
Minulla on samantapainen yksinkertainen ongelma. Miten voisi näyttää laskemalla intuitiivisesti selvän asian, että lausekkeen ollessa...
c^2 = a^2 b^2;
a,b,c > 0 (ei-triviaali Pythagoras)
...hypotenuusa c on minimissään, kun kateetit ovat yhtä suuria, eli a=b?
(Pythagoraan lauseestahan saadaan triviaali tulos, että c on nolla, kun a ja b nollia. Siitä ei tässä olla kiinnostuneita.)
Tuossa on kai lisäehtona, että a b=vakio. Voit muuttaa kausekkeen seuraavan muotoon: c^2 = (a b)^2 -2*a*b
Eli tehtävä palautuu a*b:n maksimin etsimiseen, kun a b=vakio. Jos a:n ja b:n keskiarvo (a b)/2 = k, saadaan summasäännön toteuttavilla poikkeamilla e keskiarvosta: (k e)*(k-e)=k^2-e^2. Eli keskiarvo, siis a=b, antaa suurimman arvon.
Tuosta a b=vakio =D saa sen toisen tarvittavan yhteyden.
Jos hakee tälle ääriarvon: c^2=a^2 (k*a)^2, eli b=k*a.
ja, a ka=D=>(ka)^2=(D-a)^2, tulee c^2=a^2 (D-a)^2
tuon kun derivoi a:n suhteen ja asettaa derivaatan nollaksi tulee a=D/2
sen sijoittamalla a ka=D:hen , tulee k=1, eli ääriarvo c:llä on, kun a=b.