Hei kaikki.
Miten ratkaistaan kaikki sin |x|:n integraalifunktiot?
En itse saanut oikeaa ratkaisua.
Miten ratkaistaan kaikki sin |x|:n integraalifunktiot?
En itse saanut oikeaa ratkaisua.
tässäpä teille vasta pähkinä purtavaksi!
Matikka-Antti
12163
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 12
Vanhimmat
Pura itseisarvo, integroi palat ja käytä jatkuvuusehtoa vakioiden sitomiseen.
Tässä auttaa meidän vanha salainen kikkamme. Kutsumme sitä nimellä 'ajattelu'.
Kyllä tuo sin |x| on ihan nätisti käyttäytyvä, koko reaalilukualueessa jatkuva ja integroituva funktio.
Jos x on suurempi tai yhtäsuuri kuin nolla, niin sin |x|=sin(x).
Jos x on pienempi kuin nolla, niin sin |x|=sin(-x)=-sin(x).
Kun x on suurempi kuin nolla, integraalifunktioksi saadaan -cos(x) C_1.
Kun x on pienempi kuin nolla, integraalifunktio on muotoa cos(x) C_2
Jatkuvuusehdosta saadaan -cos(0) C_1=cos(0) C_2, josta
-1 C_1=1 C_2, ja edelleen C_2=C_1-2.
Etsitty integraalifunktio on siis muotoa
-cos(x) C_1, kun x on pienempi kuin 0
ja muotoa
cos(x) C_1-2
kun x on suurempi tai yhtäsuuri kuin nolla.
Piitten välillä onkin, mutta kun etsiä kaikki, ja maailmaa on piitten ulkopuolellakin
Ihan kuin olisi mennyt pienemmät ja suuremmat sekaisinkin ?
Olet, nimimerkki '19 3', ihan oikeassa.
Tuossa lopussa ovat alueet kiireessä vaihtuneet.
Siinä pitäisi siis olla, kuten edeltä ilmenee, näin päin:
Etsitty integraalifunktio on siis muotoa
-cos(x) C_1, kun x on suurempi tai yhtäsuuri kuin 0
ja muotoa
cos(x) C_1-2
kun x on pienempi kuin nolla.
C_1 on vapaasti valittava vakio.
Mutta kun se sinx funktio vaihtaa merkkinsä nollan lisäksi myös -piin kohdalla, niin eikö tuo integraalifunktio muka muutu piin kohdalla cosx C1:ksi, ja 2piin kohdallla taas -cosx C1:ksi, jne ? (ja sama miinus-puolella)
niin tai miksei se menisi itse asiassa näin:
-cos(pi) C1= cos(pi) C2=>-(-1) C1=-1 C2=>C2=C1 2, ja
F=-cosx C1, välillä 0...pi, ja F= cosx C1 2 , välillä pi...2pi , jne... ? (miinus-puolella sama tarkastelu)
No joo, huomasin jo itsekin, että funktio on sin|x|, eikä |sin(x)|...
mitä integrointi on? siis tiedän, että se on derivoinnin käänteisoperaatio, mutta mitä se KÄYTÄNNÖSSÄ on?
------
Periaatteessa kyllä yhteenlaskua. Matemaattinen määritelmä taitaa olla tuo derivoinnin käänteisoperaatio. Parhaiten selvinnee käytännön esimerkein. Tunnetuin sovellus on kai matkan, nopeuden ja kiihtyvyyden keskinäiset suhteet. Kuljettu matka on nopeuden integraali ja kiihtyvyys sen derivaatta ajan suhteen. Autossa matkamittari "integroi" nopeusmittaria. Vastaava esimerkki on kodin sähkömittari: se mittaa kulutetun sähkötehon kunakin hetkenä ja "integroi" sen kulutetusksi sähköenergiaksi.
Integraali on yksikäsitteinen vasta jos sen lähtöpiste on määritelty. Esim. auton trippimittarin lukema on mielekäs vasta jos sen nollauskohta tiedetään.
> Periaatteessa kyllä yhteenlaskua.
? ? ?
Y = f(x)
integraali y x1:stä x2:een on tulon y*dx summaamista tuolta väliltä.
Mutta tuon tulon laskeminen ei ole yhteenlaskua, vaan kertolaskua !
Käytännössä integrointi on esim jonkun käyrän ja x-akselin väliin jäävän pinta-alan laskemista.
Mutta myöskin fillarin etupyörän kulkeman uran laskemista, kun takapyörän kulkema ura tiedetään, tai jopa päinvastoin, mutta se on kyllä huomattavasti vaikeampaa laskea.
Käytännön testillä taas on paljon helpompaa vetää etupyörää haluttua reittiä pitkin, ja katsoa takapyörän piirtämä jälki kuin päinvastoin. Yrittäkääpäs laskea asia noin päin, niin huomaatte miten vaikeaase on vaikka etupyörän jälki olisi hyvinkin yksinkertainen alkeisfunktioiden kuvaama käyrä.