Laudatur 3, teht. 55.
Ympyrän pinta-ala pienenee 19 %. Kuinka monta prosenttia pienenee ympyrän piiri?
Oikea ratkaisu: 10 %.
Kysynkin, kuinka tähän ratkaisuun päädytään?
Ympyrän pinta-ala pienenee 19 %. Kuinka monta prosenttia pienenee ympyrän piiri?
Oikea ratkaisu: 10 %.
Kysynkin, kuinka tähän ratkaisuun päädytään?
Vastaukset 11
Vanhimmat
Helposti. Lasketaan uuden ympyrän säde ja verrataan sitä alkuperäisen ympyrän säteeseen.
Voidaan ottaa alkuperäisen ympyrän säteeksi 1.
{1 - neliöjuuri( 100% - 19% ) } * 100% = {1 - neliöjuuri( 1 - 0.19 ) } * 100%
= {1 - neliöjuuri( 0.81 ) } * 100% = {1 - 0.9 } * 100%
= 0.1 * 100% = 10%
Tähän kohtaan on pakko huomauttaa, että ylioppilaskokeessa et saa tehtävästä täysiä pisteitä, mikäli käytät ratkaisussa numeerista säteen arvoa. Aseta säteen arvoksi mieluummin esimerkiksi r.
Käviskö tähän avuksi mittakaavan käsite: pienennyssuhde alassa on 100:81, joten pienennys 1-ulottuvuudessa on neliöjuuri tuosta eli 10:9. Pudotus 10:stä yheksään on siis 10%.
Taustalla tässä on sääntö: pinta-alan muutos on mittakaavan neliö.
En tiedä vaan missä kohtaa koulukurssissa tuo tulos todistetaan, siis yleisemmin kuin suorakulmiolle. Arvelisin, että jossain kohtaa ainakin lukion kurssissa se on.
Näissä skaalaustehtävissä pinta-alat suhtautuvat toisiinsa kuten pituusmittjojen neliöt.
Jos pinta-ala muuttuu kertoimellla 81/100, niin pituusmitat muuttuvat vastaavasti kertoimella sqrt(81/100)=9/10.
Tämä vastaa siis pituusmittojen pienenemistä kymmenellä prosentilla.
Tällaiseen luontevaan ajattelutapaan kouluopetuksen tulisi tähdätä, ei niinkään kaikkien tehtävien ratkaisemiseen yhtälöitä ja kaavoja kirjoittamalla.
Valitettavasti tällaisesta vastauksesta ei kuitenkaan ylioppilastutkintolautakunta ehkä antaisi täysiä pisteitä.
Yhtälöitä ja kaavoja voitaisiin pitää koulupedagogiikan välineinä, kun perimmäisenä tavoitteena on jonkinlaisen sisäisen näkemyksen kehittäminen luonteeltaan matemaattisista ongelmista ja niiden ratkaisemisesta. Kehittyneemmässä muodossa tällainen kehittynyt kokonaisnäkemys ilmenee tietoisuutena siitä, millainen jonkin vaikeankin ongelman ratkaisu tulisi olemaan, vaikka sen yksityiskohtia ei olisikaan kohta kohdalta käyty läpi. Tästä käytetään 'hienompaa' nimitystä 'matemaattinen intuitio'.
MIelenkiintoinen arvio:
"Valitettavasti tällaisesta vastauksesta ei kuitenkaan ylioppilastutkintolautakunta ehkä antaisi täysiä pisteitä."
Mikä tuossa mahtaisi olla, ettei tulisi täysiä pisteitä, edellyttäen tieten että koulukirjassa esitellään tuo laki. Ja ehkä laittaisi parille riville näytön, että ymmärtää mittakaavan/skaalauksen.
Yhdenmuotoisuustehtäväthän sinänsä ovat lyhyenkin matikan 'vakiotavaraa'.
Juu, siinähän opettajalla haaste saada menestyksellä harjoitetuksi tuota intuitiota. Sopisi varmaan johonkin matikkakerhoon tai vastaavalle lisäkurssille, missä oppilaat jo pitemmälle valikoituneita.
Lukion matematiikassa pituuksien ja pinta-alojen suhdetta käsitellään geometrian kurssilla osiossa kuvioiden yhdenmuotoisuus. Siellä on esitetty tulos: "Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on yhdenmuotoisuussuhteen neliö.", joten se voitaneen olettaa tunnetuksi. Näin ollen yllä esitetty ratkaisutapa olisi hyväksyttävä.
Tehtävän pystyy tosin ratkaisemaan ilman edellä mainittua tulosta ja ihan peruskoulun matematiikalla.
Olkoon A isomman ympyrän pinta-ala, a pienemmän ympyrän pinta-ala, R isomman ympyrän säde ja r pienemmän ympyrän säde.
Saadaan 0,81A = a, toisin sanoen
0,81*pi*R*R = pi*r*r, jakamalla puolittain pi:llä saadaan
0,81*R*R = r*r, otetaan neliöjuuri puolittain (molemmat puolet positiivisia)
0,9R = r.
Isomman ympyrän piiri P = 2*pi*R ja pienemmän ympyrän piiri p = 2*pi*r. Piirien erotus on P - p = 2*pi*R - 2*pi*r = 2*pi*R - 2*pi*0,9R = 2*pi*0,1R.
Kun muutosta verrataan alkuperäiseen piiriin, saadaan suhteellinen muutos eli
2*pi*0,1R : 2*pi*R = 0,1 = 10 %.
Matemaattinen intuitio on hieno asia, mutta lukiolaisilla se pettää vielä todella usein.
Jahas, mainittu lause koulukirjasta löytyy. Onkohan siellä näytetty/todistettu, että pätee myös muille kuin särmikkäille kuvioille. Toisaalta riittänee, kun on vain esitetty.
Tässä muuten huomaa tuon intuition voiman, tällainenkin lasku muuttuu päässälaskuksi, kun vaan 'sattumoisin' lähtöarvot on valittu sopivasti :)
> Siellä on esitetty tulos: "Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on yhdenmuotoisuussuhteen neliö.", joten se voitaneen olettaa tunnetuksi.
Tuo on kuitenkin väärä tulos, mikä ei aina päde.
Tasogeometriassa se kyllä pätee, ja muualla pätee silloin, kun kuvion lisäksi myös sen rajaama pinta on yhdenmuotoinen.
Esim pallokartalle piirretyn ympyrän sisään jäävä pinta-ala ei kasva mittakaavan neliössä, ellei myös pallokarttaa suurenneta samassa suhteessa.
Esim 80 asteen pohjoisen leveyspiirin pohjoispuolelle ja 70 asteen pohjoisen leveyspiirin pohjoispuolelle jäävien pinta-alojen suhde ei vastaa säteiden suhteiden neliötä. Siltikin ne ympyrät toki ovat yhdenmuotoisia yksiulotteisia viivoja kolmiulotteisen kappaleen kaksiulotteisella pinnalla.
Kiitos hyvistä vastauksista. Tehtävän tosin sain ratkaistua itse:
k^2 = 0,81A / A = 0,81 / 1
k = 0,9 / 1
0,9 / 1 = p2 / p1 => p2 = 0,9 x p1
1 - 0,9 = 0,1 = 10 %
kokeissa, jos tämmönen lasku sattuu, niin pitäis vain laittaa näkyviin se peruste, miksi olet ottanut neliöjuuren puolittain tuossa toisella rivillä.