Minulla on edessäni tehtävä, joka on "liian vaikea". Eli hieman hankalahko perus lukiomatikalla. Kiinnostava kuitenkin.
Eli pitäisi tutkia millä parametri a:n (reaali)arvoilla seuraava epäoleellinen integraali on äärellinen.
integral( x^(1-a) / ((1 x^2)^a)) dx, from 0 to infinite .
Tuonhan voi pilkkoa:
integral( x^(1-a) / ((1 x^2)^a)) dx, from 0 to 1
integral( x^(1-a) / ((1 x^2)^a)) dx, from 1 to inf .
Mutta mitenkäs näistä integraaleista sitten pitäisi tutkia tuo konvergenssi, kun lähestytään 0 ja toisaalta kun lähestytään inf .
P-testistä voisi olla apua. Sehän sanoo:
Integral( 1 / x^p)) dx, from 0 to 1 converges (eli on rajallinen) if and only if p 1.
(Ja apuna tiedetään, että oikea vastaus tehtävään on 2/3 < a < 2.)
Eli pitäisi tutkia millä parametri a:n (reaali)arvoilla seuraava epäoleellinen integraali on äärellinen.
integral( x^(1-a) / ((1 x^2)^a)) dx, from 0 to infinite .
Tuonhan voi pilkkoa:
integral( x^(1-a) / ((1 x^2)^a)) dx, from 0 to 1
integral( x^(1-a) / ((1 x^2)^a)) dx, from 1 to inf .
Mutta mitenkäs näistä integraaleista sitten pitäisi tutkia tuo konvergenssi, kun lähestytään 0 ja toisaalta kun lähestytään inf .
P-testistä voisi olla apua. Sehän sanoo:
Integral( 1 / x^p)) dx, from 0 to 1 converges (eli on rajallinen) if and only if p 1.
(Ja apuna tiedetään, että oikea vastaus tehtävään on 2/3 < a < 2.)
Vastaukset 1
Vanhimmat
En muista reaalianalyysiä kovinkaan tarkasti, mutta ideana on, että integral( x^(1-a) / ((1 x^2)^a)) dx, from 0 to 1 käyttäytyy samoin kuin \int_0^1 x^{1-a} dx. Suppenee, kun 1-a>-1 eli a