y=f(x)=x^3 3x^2 3x 1
vastauksena f(x)^-1=kuutiojuurix 1
Olen muuttanut x:n ja y:n, todennut että funktiolla on vain yksi juuri ja se on -1, mutta en osaa sieventää tuota vastauksen muotoon.
Ymmärrän että käänteisfunktiossa tehdään asiat päinvastoin, mutta menee yli hilseen.
x=kuutijuuriy neliöjuurix/3 x/3-1
Miten tuo sievenee muotoon kuutiojuuriy-1?
Vai olenko hakoteillä?
vastauksena f(x)^-1=kuutiojuurix 1
Olen muuttanut x:n ja y:n, todennut että funktiolla on vain yksi juuri ja se on -1, mutta en osaa sieventää tuota vastauksen muotoon.
Ymmärrän että käänteisfunktiossa tehdään asiat päinvastoin, mutta menee yli hilseen.
x=kuutijuuriy neliöjuurix/3 x/3-1
Miten tuo sievenee muotoon kuutiojuuriy-1?
Vai olenko hakoteillä?
Vastaukset 4
Vanhimmat
Onko x^3 3x^2 3x 1 = (x 1)^3?
Päättele itse:
solmu.math.helsinki.fi/2008/Serbitehtavia/prijemni.pdf
> Onko x^3 3x^2 3x 1 = (x 1)^3?
On, joten y = (x 1)^3
> Miten tuo sievenee muotoon kuutiojuuri(y) -1 ?
ottamalla ensin kuutiojuuri molemmilta puolilta yhtälöä :
kuutiojuuri(y) = kuutiojuuri ((x 1)^3) = x 1
vähennetään molemmilta puolilta yhtälöä 1 ja saadaan :
kuutiojuuri(y) - 1 = x
> vastauksena f(x)^-1=kuutiojuurix 1
Tuo vastaus on väärin, joten sellaiseksi ei sievene yhtään mitenkään.
- merkkiä ei saada merkiksi yhtään mitenkään.
f(x) = x³ 3x² 3x 1
f´(x) = 3x² 6x 3 = 3(x² 2x 1) = 3(x 1)² ≥ 0 kaikilla x:n reaalilukuarvoilla
Lisäksi f´(x) = 0 vain kahdassa x = -1, joten funktio f on aidosti kasvava.
Tämä osoittaa käänteisfunktion olemassaolon.
x³ 3x² 3x 1 = y
(x 1)³ = y
∛[(x 1)³] = ∛(y)
x 1 = ∛(y)
x = ∛(y) - 1
Suoritetaan muuttujanvaihto, jolloin käänteisfunktion lausekkeeksi saadaan:
f^(-1)(x) = ∛(x) - 1