Onko sille mitään syvällistä matemaattista selitystä, miksi kaikkien alkeisfunktioiden derivaatat ovat alkeisfunktioita, mutta integraaleilla tämä ei lähimainkaan päde?
derivaatat vs. integraalit
J-lahti
5184
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 5
Vanhimmat
Eiköhän se perustu siihen, että derivaattojen summa, tulo ja yhdistetty funktio on helppo laskea, kun lkuperäisten funktiot osataan derivoida. Integraaleille ei ole tällaisiä tulon tai yhdistetyn funktion integraalikaavoja. Paperissa http://www.sci.ccny.cuny.edu/~ksda/PostedPapers/liouv06.pdf on selitetty, miksi funktiolla e^{x^2} ei ole alkeisfunktioin esitettävää integraalia.
Tilanne lienee suht mustavalkoinen sikäli kuin voidaan (ja kaiketi voidaan) osoittaa, että alkeisfunktioiden derivaatat ovat alkeisfunktioita. Toisin päin tilanne on tavallinen myös: muuttujan derivaattoja sisältäville yhtälöille (diff.yhtälöt) ei useinkaan löydy analyyttistä ratkaisua. Miksi näin on, diff.yhtälöitten teoriasta löytynee jotain selityksiä.
Ihan intuitiivisesti voisi ajatella: derivaatta kuvaa funktion muutosta ja jos itse funkio voidaan esittää analyyttisesti, muutoskin voidaan esittää analyyttisesti. Derivaatta edustaa alkup.funktiosta katsoen "suppenevaa suuntaa", integraali taas "laajenevaa avaruutta" :)
Se, mikä on alkeisfunktio, lienee elänyt matematiikan historian mukana jonkun verran (kuten moni muukin asia). Esim. normaalijakauman tiheysfunktio (kuten myös em. e**x**2 tai sin x / x) luokitettaneen nykyisellään alkeisfunktioksi, mutta analyyttistä integraalifunktiota ei löydy. Itse asiassa enimmille "luonnon" funktioille yhtälöesitystä ei löydy, ei itselleen, ei integraalia eikä derivaattaakaan (esim.joulukuun lämpötilakäyrä v.2012). On kokonainen sovelletun matematiikan alansa, missä vapaille muodoille haetaan edes jotakin digitaalista esitystapaa (CAD). Taitaa olla enemmän kouluympäristöä, kun funktioiden käyttäytymistä hallitaan eniten yksinkertaisilla yhtälölausekkeilla....
"Se, mikä on alkeisfunktio, lienee elänyt matematiikan historian mukana jonkun verran"
Voi olla, en tunne matikan historiaa tältä osin. Ainakin omassa vastauksessani oletin, että integraalin suljetulla muodolla tarkoitetaan artikkelin määritelmää alkeisfunktiolle sivulta 20.
Saattaa olla, että määrittely artikkelissa on sen sisäisiin tarpeisiin, ei niinkään yleiskielen oloiseen "alkeisfunktio"-nimitykseen nähden (en tunne algebraa juurikaan, eli kertoo ken tietää).
Joka tapauksessa ihan arkipäivää esim.fysiikan sovelluksissa on, ettei suljettua muotoa (ratkaisua) useinkaan integraalille/diff.yhtälölle löydy, vaan numeeriset menetelmät hoitaa homman. Ja esim.normaalijakauman kertymäfunktion arvot saadaan jopa laskimesta siinä missä sin tai ln.
Arvelu: Voi olla että tutkimustyö integraalifunktioiden etsimiseksi ei ole niin pinnalla kuin reilu sata vuotta sitten; jäänyt numeerisen menetelmäkehityksen "alle", koska sovellusten kannalta jälkimmäisellä on suurempi merkitys. Tai todettu, että löydetty suunnilleen mitä löydettävissä on..... mene tiedä
"Arvelu: Voi olla että tutkimustyö integraalifunktioiden etsimiseksi ei ole niin pinnalla kuin reilu sata vuotta sitten; jäänyt numeerisen menetelmäkehityksen 'alle', koska sovellusten kannalta jälkimmäisellä on suurempi merkitys."
Niin. Ainakin Rischin algoritmi kehitettiin vuonna 1968. Sen avulla voidaan selvittää täsmällisesti, onko annetulla alkeisfunktion integraalilla suljettua muotoa alkeisfunktioiden avulla. Varmaankin aihetta voisi tutkia edelleen. En esimerkiksi tiedä, että jos on annettu joitain transkendenttisia funktioita f_1,...,f_n, niin onko olemassa algoritmia, joka antaisi alkeisfunktion integraalin alkeisfunktioiden ja funktioiden f_1,...,f_n äärellisenä kombinaationa.