en ymmärrä miten päätellä derivoinnin jälkeen kun lasketaan nollakohdat (helppo juttu) niin merkitä ne laskeviksi tai nouseviksi. Pitääkö laskea yhtälöt arvoilla että näkee sen. En ole iki saanut edes opettajalta ymmärrettävää vastausta.
kulkukaavio
pandaria.
6324
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 6
Vanhimmat
Asiaa on käsitelty tässä:
http://www.math.jyu.fi/matyl/propedeuttinen/kirja/index-91.html
Muita tapoja on piirtää funktion kuvaaja tai tarkastella toisen derivaatan (derivaatan derivaatta) merkkiä.
ei oikein voi kokonaan mekanisoida (so.automatisoida, robotoida, :)
vaan on pakko ajatella jonkin verran. Siihen auttaa mm.ymmärtäminen, että havainnollisesti 1.derivaatta on alkup.funktion kulmakerroin, ja jos se (derivaatta) on negatiivinen, funktio vähenee, jos nolla, funktio "menee" vaakasuoraan, ja jos positiivinen, funktio kasvaa. Vaakasuorissa kohdissa (derivaatan ollessa nolla) ääriarvo voi esiintyä, mutta ei välttämättä, se voi olla vain käännepiste (so.mentäessä vaakasuoran kohdan yli derivaatan (kulmakertoimen) merkki ei vaihdukaan. Tällainen tilanne on esim. käyrällä y=x^3 ).
Erikseen on tutkittava ns.kulmapisteet, joissa yksikäsitteistä derivaattaa ei ole. Sellaisia on tavallisimmin käyrillä, minkä yhtälössä esiintyy itseisarvomerkkejä. Piirtämisen kannalta on löydettävä vielä mahdolliset epäjatkuvuuskohdat, sellainen on esim. käyrällä 1/x kohdassa nolla.
eikös se mene silleen että esim polynomitapauksessa, jos derivaatan nollakohdalle saadaan yksinkertainen juuri niin siinä kohtaa funktion kuvaaja kääntyy laskevasta nousevaksi (tai päinvastoin), mutta jos juuri on kaksinkertainen niin nousu (tai lasku) voi jatkua tämän pisteen yli?
mutta mistä tietää tai mikä on kriteeri sille, että derivaatasta laskettu juuri on "yksinkertainen" tai "kaksinkertainen". Ja voiko jokin juuri olla enempikin kuin kaksinkertainen?
no esim 1. asteen yhtälöstä saa aina yksinkertaisen juuren,
vaikkapa x - 2 = 0 x = 2
mutta toisen asteen yhtälöstä
(x-1)(x-1) = 0 saadaan, kun muistetaan tulon nollasääntö, x = 1 V x = 1 eli kumpikin termi (x -1) menee nollaksi samalla x:n arvolla, ja sen tähden vastauksena saadaan vain yksi (reaali)luku joka on kaksinkertainen juuri. Siinä on kuin kaksi ratkaisua päällekkäin.
(x-1)(x-1)(x-1)=0 on kolmannen asteen yhtälö ja sillä on kolminkertainen juuri jne.
Juuri voi olla esimerkiksi korkea-asteisilla polynomeilla hyvinkin moninkertainen. Sileän jatkuvan funktion juuren moninkertaisuuden voi päätellä siitä, vastaako juuri myös funktion derivaattojen nollakohtaa. Käytännössä tämä näkyy siinä, että juuren kohdassa käyrä myös sivuaa x-akselia. Ks. myös:
http://www.themathpage.com/aprecalc/point-inflection.htm