Matriisi, vektori, transpoosi

huihaajuuhaajoo

Moi

Nyt on matriisilaskenta taas hieman ruosteessa ja seuraava askarruttaa:

Tehtävän malliratkaisussa esiintyy tilanne jossa on annettuna matriisi kerrottuna vektorin transpoosilla. Lisäksi tulon oikealla puolella on vektori, en tiedä onko vaikutusta asiaan. Homma siis näyttää seuraavalta:

bAa^T,

missä b eräs vektori, A matriisi ja a^T vektorin a transpoosi.

Sitten tämä tulotermi pitäisi sisällyttää villiin tulo- ja yhteenlaskukarnevaaliin ja saada kauniita tuloksia - ratkaisu kuitenkin supistettu siten, että kysymykseni kannalta oleellisia välivaiheita on jätetty pois. Tässä ihmetyttää nyt se, että eikös transpoosin tulisi olla aina vasemmalla puolella matriisia, jotta tulo olisi ylipäätään laskettavissa?

Tuo matriisi A on sitten tässä ortogonaalinen.

6

871

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • huihaajuuhaajoo

      "Lisäksi tulon oikealla puolella on vektori, en tiedä onko vaikutusta asiaan."

      Tarkennus, vasemmalla puolella (siis se b). t: aloittaja.

    • znfkz

      Ensiksikin vektori voidaan ajatella matriisiksi, missä on yksi rivi (vaakavektori) ta yksi sarake (pystyvektori).

      Matriisien tulo AB voidaan muodostaa, kun matriisin A sarakkeiden määrä on sama kuin matriisin B rivien määrä. Tulomatriisin rivien määrä on sama kuin A:n rivien määrä ja sarakkeiden määrä on sama kuin B:b sarakkeiden määrä.

      Olkoon A matriisi ja x pystyvektori. Tulo Ax on määritelty, kun A:n sarakkeiden määrä on sama kuin vektorin x komponenttien määrä. Tulo on pystyvektori, missä komponenttien määrä on sama kuin A:n rivien määrä.

      Jos x' olisi vaakavektori, niin Ax' on määritelty vain kuin A on pystyvektori. Silloin Ax' on matriisi, jonka rivien määrä on = A:n komponenttien määrä ja sarakkeiden määrä on sama kuin x-komponenttien määrä.

      OIkoon y' vaakavektori ja x pystyvektori. Silloin tulo y'x on määritelty, kun vektoreiden komponenttien määrät ovat samat. Tulo on pelkkä luku (skalaaritulo, sisätulo).

      Olkoon A matriisi, y' vaakavektori ja x pystyvektori. Silloin tulo y'Ax on määritelty, kun x:n komponenttieh määrä on sama kuin A:n sarakkeiden määrä ja y':n komponenttien määrä on sama kuin A:n rivien määrä. Tuloksena saadaan pelkkä luku (1x1 matriisi) = vektoreiden y' ja Ax skalaaritulo.

      Olkoon matriisissa A m riviä ja n saraketta. y' on m-vaakavektori ja x on n-pystyvektori.
      Silloin

      y'Ax = Sum{y[i] * Sum{A[i,j] * x[j]: j = 1..n} : i = 1..m}.

    • Höböttäjä

      Eikö sen pitäisi olla b^TAa.

      Ja b on n x 1-vektori,
      A on n x m-matriisi,
      a on m x 1-vektori.

      Jos A on ortogonaalinen ja jos n > m, niin A^TA=I, ja I on m x m-yksikkömatriisi.

      BTW: tykkäätkö tensorilaskennasta? Esim. monistossa eli kaarevassa avaruudessa voidaan mitata etäisyyksiä Riemannin metrisen kaarevuustensorin avulla.

      • huihaajuuhaajoo

        Ongelmana nimenomaan on se, että vektorin transpoosi esiintyy ratkaisussa matriisin oikealla puolella.

        Matriisi on simppeli 2x2 ja vektorit tasossa.

        PS. Ongelma esiintyy fysiikan tehtävässä Lagrangen funktiota laskettaessa. Lagrangen funktio kuuluu tässä 1/2 * m * x^Tx, missä

        x^T = d/dtm^T p^T(d/dtR^T d/dtl(t)/l(t)R^T)

        ja

        x = d/dtm^T ((d/dtR d/dtl(t)/l(t)R)p^T, (*)

        missä molemmat x ja x^T siis tason vektoreita (kuten muutkin vektorit),
        m systeemin massakeskipisteen paikkavektori,
        p erään massapisteen paikkavektori,
        l(t) (vain) eräs t:stä riippuva R -> R funktio ja
        R rotaatiomatriisi (ortogonaalinen).

        Paikkavektorin transpoosi on tuossa (*)-merkityssä kohdassa oikealla puolella: ((d/dtR d/dtl(t)/l(t)R)p^T.

        t: aloittaja.


    • ruosteiset matriisit

      jos a^T on pystyvektori niin Aa^T on ihan kelvollinen, siitä tulee pystyvektori. Sen sijaan b ei voi nyt olla pystyvektori koska pystyvektoria ei voi kertoa toisen pystyvektorin kanssa.
      Siispä b on vaakavektori, niin kuin a. Lopputuloksena on yksi ainoa luku ...

    • huihaajuuhaajoo

      Vektorit ovat pystyvektoreita, mutta ratkaisu ongelmaan lienee yksinkertaisesti typo malleissa. Siis matriisin oikealla puolella ei olisikaan missään vaiheessa pystyvektorin transpoosia. Tähän päätyi eräs matemaatikkoystäväni.

      Tämä on järkevää, sillä tehtävässä annetun vektorin x^T transpoosin pitäisikin matriislilaskuopillisesti kuulua d/dtm^T (d/dtR d/dtl(t)/l(t)R)p eikä
      d/dtm^T (d/dtR d/dtl(t)/l(t)R)p^T (ei siis oikealla p:n matriisia, vaan p itse).

      Kiitos vastauksista!

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Et siis vieläkään

      Et ilmeisesti ole vieläkään päässyt loppuun asti mun kirjoituksissa täällä. Kerro ihmeessä sit, kun valmista 😁 tuskin k
      Ikävä
      50
      2224
    2. Aavistatko että moni tietää

      Vai ollaanko hyvin vedätetty pokerinaamalla. No kun vähiten odotat niin yllätämme sinut
      Ikävä
      82
      922
    3. Yritin saada

      Vastauksia mutta et voinut olla rehellinen ja kaiken kannoin yksin. Halusin kovasti ymmärtää mutta en voi enää ymmärtää.
      Ikävä
      11
      904
    4. Hyvä että lähdit siitä

      Ties mitä oisin keksinyt jos oisit jäänyt siihen, näit varmaan miten katoin sua.... 😘🤭😎💖
      Ikävä
      23
      874
    5. Onko vielä

      mahdollista nähdä?
      Rakkaus ja rakastaminen
      68
      863
    6. Koronarokotus sattui oudon paljon nyt sairaanhoitaja Tanja 46 istuu pyörätuolissa

      Pitkä piina piikistä Kun Tanja Vatka käy suihkussa, tuntuu kuin ihoa revittäisiin raastinraudalla irti. Hän on kärsinyt
      Maailman menoa
      51
      821
    7. Olisitko mies valmis?

      Maksamaan naisellesi/vaimollesi/tyttöystävällesi elämisestä syntyvät kulut, ruokailun, vuokran ja muut välttämättömät me
      Ikävä
      117
      816
    8. Täällä istun ja mietin

      Miten paljon haluaisin katsoa sinua juuri niin kuin haluaisin katsoa sinua. Rakastavin silmin. Näkisit vihdoin senkin pu
      Ikävä
      49
      749
    9. Kronikat..

      Mikä hele… on tää yks kronikat mikä suoltaa facessa kaikkea julkaisua ja AINA samoista firmoista imatralla??? Eikö ne mu
      Imatra
      9
      743
    10. vieläkin sanoa voin...

      💖💛💖💛💖💛💖💛💖 💛 Beijjjbeh 💛 Kaks vuotta tänään täällä. Miten hitossa jotkut on jaksaneet kymmeniä vuos
      Ikävä
      22
      733
    Aihe