Moi
Nyt on matriisilaskenta taas hieman ruosteessa ja seuraava askarruttaa:
Tehtävän malliratkaisussa esiintyy tilanne jossa on annettuna matriisi kerrottuna vektorin transpoosilla. Lisäksi tulon oikealla puolella on vektori, en tiedä onko vaikutusta asiaan. Homma siis näyttää seuraavalta:
bAa^T,
missä b eräs vektori, A matriisi ja a^T vektorin a transpoosi.
Sitten tämä tulotermi pitäisi sisällyttää villiin tulo- ja yhteenlaskukarnevaaliin ja saada kauniita tuloksia - ratkaisu kuitenkin supistettu siten, että kysymykseni kannalta oleellisia välivaiheita on jätetty pois. Tässä ihmetyttää nyt se, että eikös transpoosin tulisi olla aina vasemmalla puolella matriisia, jotta tulo olisi ylipäätään laskettavissa?
Tuo matriisi A on sitten tässä ortogonaalinen.
Nyt on matriisilaskenta taas hieman ruosteessa ja seuraava askarruttaa:
Tehtävän malliratkaisussa esiintyy tilanne jossa on annettuna matriisi kerrottuna vektorin transpoosilla. Lisäksi tulon oikealla puolella on vektori, en tiedä onko vaikutusta asiaan. Homma siis näyttää seuraavalta:
bAa^T,
missä b eräs vektori, A matriisi ja a^T vektorin a transpoosi.
Sitten tämä tulotermi pitäisi sisällyttää villiin tulo- ja yhteenlaskukarnevaaliin ja saada kauniita tuloksia - ratkaisu kuitenkin supistettu siten, että kysymykseni kannalta oleellisia välivaiheita on jätetty pois. Tässä ihmetyttää nyt se, että eikös transpoosin tulisi olla aina vasemmalla puolella matriisia, jotta tulo olisi ylipäätään laskettavissa?
Tuo matriisi A on sitten tässä ortogonaalinen.
Vastaukset 6
Vanhimmat
"Lisäksi tulon oikealla puolella on vektori, en tiedä onko vaikutusta asiaan."
Tarkennus, vasemmalla puolella (siis se b). t: aloittaja.
Ensiksikin vektori voidaan ajatella matriisiksi, missä on yksi rivi (vaakavektori) ta yksi sarake (pystyvektori).
Matriisien tulo AB voidaan muodostaa, kun matriisin A sarakkeiden määrä on sama kuin matriisin B rivien määrä. Tulomatriisin rivien määrä on sama kuin A:n rivien määrä ja sarakkeiden määrä on sama kuin B:b sarakkeiden määrä.
Olkoon A matriisi ja x pystyvektori. Tulo Ax on määritelty, kun A:n sarakkeiden määrä on sama kuin vektorin x komponenttien määrä. Tulo on pystyvektori, missä komponenttien määrä on sama kuin A:n rivien määrä.
Jos x' olisi vaakavektori, niin Ax' on määritelty vain kuin A on pystyvektori. Silloin Ax' on matriisi, jonka rivien määrä on = A:n komponenttien määrä ja sarakkeiden määrä on sama kuin x-komponenttien määrä.
OIkoon y' vaakavektori ja x pystyvektori. Silloin tulo y'x on määritelty, kun vektoreiden komponenttien määrät ovat samat. Tulo on pelkkä luku (skalaaritulo, sisätulo).
Olkoon A matriisi, y' vaakavektori ja x pystyvektori. Silloin tulo y'Ax on määritelty, kun x:n komponenttieh määrä on sama kuin A:n sarakkeiden määrä ja y':n komponenttien määrä on sama kuin A:n rivien määrä. Tuloksena saadaan pelkkä luku (1x1 matriisi) = vektoreiden y' ja Ax skalaaritulo.
Olkoon matriisissa A m riviä ja n saraketta. y' on m-vaakavektori ja x on n-pystyvektori.
Silloin
y'Ax = Sum{y[i] * Sum{A[i,j] * x[j]: j = 1..n} : i = 1..m}.
Eikö sen pitäisi olla b^TAa.
Ja b on n x 1-vektori,
A on n x m-matriisi,
a on m x 1-vektori.
Jos A on ortogonaalinen ja jos n > m, niin A^TA=I, ja I on m x m-yksikkömatriisi.
BTW: tykkäätkö tensorilaskennasta? Esim. monistossa eli kaarevassa avaruudessa voidaan mitata etäisyyksiä Riemannin metrisen kaarevuustensorin avulla.
Ongelmana nimenomaan on se, että vektorin transpoosi esiintyy ratkaisussa matriisin oikealla puolella.
Matriisi on simppeli 2x2 ja vektorit tasossa.
PS. Ongelma esiintyy fysiikan tehtävässä Lagrangen funktiota laskettaessa. Lagrangen funktio kuuluu tässä 1/2 * m * x^Tx, missä
x^T = d/dtm^T p^T(d/dtR^T d/dtl(t)/l(t)R^T)
ja
x = d/dtm^T ((d/dtR d/dtl(t)/l(t)R)p^T, (*)
missä molemmat x ja x^T siis tason vektoreita (kuten muutkin vektorit),
m systeemin massakeskipisteen paikkavektori,
p erään massapisteen paikkavektori,
l(t) (vain) eräs t:stä riippuva R -> R funktio ja
R rotaatiomatriisi (ortogonaalinen).
Paikkavektorin transpoosi on tuossa (*)-merkityssä kohdassa oikealla puolella: ((d/dtR d/dtl(t)/l(t)R)p^T.
t: aloittaja.
jos a^T on pystyvektori niin Aa^T on ihan kelvollinen, siitä tulee pystyvektori. Sen sijaan b ei voi nyt olla pystyvektori koska pystyvektoria ei voi kertoa toisen pystyvektorin kanssa.
Siispä b on vaakavektori, niin kuin a. Lopputuloksena on yksi ainoa luku ...
Vektorit ovat pystyvektoreita, mutta ratkaisu ongelmaan lienee yksinkertaisesti typo malleissa. Siis matriisin oikealla puolella ei olisikaan missään vaiheessa pystyvektorin transpoosia. Tähän päätyi eräs matemaatikkoystäväni.
Tämä on järkevää, sillä tehtävässä annetun vektorin x^T transpoosin pitäisikin matriislilaskuopillisesti kuulua d/dtm^T (d/dtR d/dtl(t)/l(t)R)p eikä
d/dtm^T (d/dtR d/dtl(t)/l(t)R)p^T (ei siis oikealla p:n matriisia, vaan p itse).
Kiitos vastauksista!