Etsi kaikki kokonaisluvut (positiiviset ja negatiiviset!) n, joille luku n^2 20n 11 on neliöluku, eli se voidaan esittää kokonaisluvun neliönä.
Millä menetelmällä voisi lähteä ratkaisemaan?
Millä menetelmällä voisi lähteä ratkaisemaan?
Etsi luvut
Mrman 116
862
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 8
Vanhimmat
En tiedä, mutta pari kappaletta ainakin löytyy näin, mutta kai niitä nyt enemmänkin on:
n^2 20n 11=m^2, n=kokonaisluku ja m^2 on jonkun kokonaisluvun neliö
ratkaisemalla tulee: n=-10 -sqrt(89 m^2)
Koska n=kokonaisluku, niin 89 m^2 on sellainen kokonaisluku p^2, josta saa kokonaislukujuuren, eli p^2=89 m^2
Minä nyt haen ensiksi peräkkäisiä lukuja m ja p, jolloin p^2-(p-1)^2=89=>p=45
Koska p=45, niin m=44, ja n=-10 -sqrt(89 44^2)=>n=-55 tai n=35
Tästä nyt vois koittaa hakea lisää siten, että p ja m eivät olisi peräkkäisiä, mutta en jaksa
hain kuitenkin näin:
p^2-(p-2)^2=89
p^2-(p-3)^2=89... jne, ja ei löydykään enempää...ainakaan näin hakien
Korjataan vähä
"Koska n=kokonaisluku, niin 89 m^2 on sellainen kokonaisluku p^2, josta saa kokonaislukujuuren, eli p^2=89 m^2"
Tästä pitääkin jatkaa näin: Haetaan lukuja p ja m siten, että merkitään p=m y, jossa kaikki ovat kokonaislukuja ja y on näiden lukujen p ja m erotus. Nyt saadaan:
(m y)^2-m^2=89=>2m=(89-y^2)/y
Koska m on kokonaisluku niin (89-y^2)/y on oltava myös kokonaisluku, ja koska 89 on alkuluku, joka ei ole jaollinen kuin ykkösellä ja itsellään, niin tuosta ei kokonaislukua saa muilla kuin y:n arvoilla -1 tai -89. Niillä sijoittamalla tulee m= -44, ja
n=-55 tai 35
Entä jos laskennassa missään vaiheessa saisi käyttää vain kokonaislukuja?
Vaikeuttaisiko vähän.
Vastauksena ei tällöin voi olla neperin luku ei mikään muu kuin kokonaisluku vaan numero 1,2,3 jne, kun puhumme kokonaisluvuista.
Kirjoita ensin yhtälö
k^2=n^2 20n 11
Täydennä oikea puoli neliöksi (binomin neliöintikaavaa hyödyntäen)
k^2=(n 10)^2-89
Tästä saat
(n 10)^2-k^2=89
Vasen puoli hajoaa binomin neliöintikaavan avulla tekijöihin
(n 10-k)(n 10 k)=89
Lopuksi käyt läpi kaikki luvun 89 tekijöihinjaot, joista saat neljä kappaletta yhtälöpareja luvuille n ja k. Nämä on helppo ratkaista laskemalla yhtälöt puolittain yhteen ja vastaavasti vähentämällä toinen puolittain toisesta.
Ovat erittäinkin hyviä jos alkaa miettimään toisten laittamia tehtäviä, minulla on vaan se sitten älä ala simuloimaan derivaattoja, integraaleja jne, erittäinkin hauskoja tehtäviä on välillä kuten tuo korttipakka-juttu mihin tartuin.
Täyttä huuhaata! Älkää uskoko tuon tyypin höpötyksiä!
Tuossa lopussa käytetään kaavaa a^2-b^2=(a-b)(a b), eikä mitään binomin neliöintikaavaa!