Elikkäs y-akselin suuntainen paraabeli kulkee pisteen (-1,3) kautta ja sivuaa pisteessä (2,3) suoraa y=x 1. Määritä paraabelin huippu.
Pitääkö tässä käyttää derivaattaa jotenkin hyväksi?
Huhhuh, kirjotukset lähestyy, enkä osaa tälläsiä perusasioita. Auttakaa tyhmää :D
Pitääkö tässä käyttää derivaattaa jotenkin hyväksi?
Huhhuh, kirjotukset lähestyy, enkä osaa tälläsiä perusasioita. Auttakaa tyhmää :D
Vastaukset 11
Vanhimmat
Tuossa on jotain pielessä. Ei paraabeli voi olla jonkun akselin suuntainen. Suorat voivat olla jonkun toisen suoran tai vektorin suuntaisia.
Mutta huipun saa selville derivaatan nollakohdasta ja derivaatan arvo pisteessä x=2 tulee olla 1 ja jos se kulkee pisteen (2,3) kautta, niin tuosta luulisi saavan tarpeeksi yhtälöitä ratkaisua varten.
En osaa minäkään, kun en tiedä tuosta suuntaisuudesta mitään.
Sori, tuli pieni kämmi. Eli tehtävänannossa sanotaan " Paraabeli, jonka akseli on y-akselin suuntainen.." Tarkoittanee varmaan sellasta "normaalia" paraabelia.
suunnilleen niin että parabelin yhtälö on ax^2 bx c
Kertoimet saa 3.sta yhtälöstä, joista 2 pistettä on annettu ja kolmas on derivaatta(kulmakerroin) tietyssä pisteessä.
Sitten derivaatta =0 ja siinä on se huippu.
Tehdään tähän vähän erilainen ratkaisu, tai tätä varmaan haetaankin:
Paraabelilla on vähän tunnettu huippupistemuoto: y-Y=a(x-X)^2, missä nuo X ja Y ovat huipun koordinaatit, ja a on vakio, erisuuri kuin 0.
Nyt tiedetään kaksi pistettä (-1,3) ja (2,3), ja sijoitetaan ne pisteet:
3-Y=a(-1-X)^2
3-Y=a(2-X)^2, tästä saadaan (-1-X)= -(2-X), ja edelleen X=½
(se on tuo -vaihtoehto, vaihtoehdosta ei tule mitään)
Lisäksi tiedetään, että y´(2)=1 (tämä tuli siitä pisteeseen (2,3) piirretyn tangentin kulmakertoimesta 1, koska käyrän derivaatta jossain pisteessä, on siihen pisteeseen piirretyn tangentin kulmakerroin)
y=a(x-X)^2-Y, X=½
y´=2a(x-½)
y´(2)=3a, ja tämän piti olla 1. Siitä seuraa, että a=1/3.
Nyt on saatu paraabelin yhtälöksi: y-Y=1/3(x-½)^2. Tähän sijoitetaan jompikumpi tiedetyistä pisteistä, laitetaan nyt (-1,3)
3-Y=1/3(-3/2)^2=¾=>Y=3-¾=9/4.
Huippu on (½, 9/4)
Laitetaan vielä perinteisemmällä kaavaversiolla y=ax^2 bx c sama.
Kun annetut pisteen sijoitetaan kaavaan saadaan
a-b c =3
4a 2b c=3 ja
4a b =1
Suuret kiitokset teille, kun jaksoitte jeesiä! :) Vieläkin tuntuu toi derivaatan avulla saatu piste hankalalta. Miksei tohon 4a b = 1 ei tule c:tä? Joo tiedän, että mulla on vähän kova pää, mutta jos viitsisitte rautalangasta vääntää, olisin todella kiitollinen. Mutta pääajatus on nyt tiedossa, siitä suuri kiitos teille! :)
C on vakiotermi paraabelissä ja mikä olikaan vakion derivaatta (ettei vain 0)
Tuplataan tuo yo.asia vielä toisin:
koska derivaatan lauseke on y'=2ax b, x:n arvolla 2 tulee 4a b (ei ole siis c:tä), ja tämän on oltava 1, koska alussa annetun suoran kulmakerroin on 1 (myös derivaatan merkitys havainnollisesti on yhtä kuin kulmakerroin).
Jaaa, nyt selkis. Olin derivoinut tota y=x 1 ja siitä yrittänyt saada sitä pistettä :D
Kiitos!
Eipä hätää.
Pienellä päättelyllä havaitaan, että paraabelin yhtälön täytyy olla muotoa
y = a(x-2)^2 (x 1)
Sijoittamalla x=-1 ja y=3 saadaan vakiolle a ratkaistua arvo a=1/3
Paraabeli tulee siis muotoon
y = (1/3) (x^2-x 7)
Täydentämällä x:n sisältävät termit neliöksi saadaan esitys muotoon
y = (1/3)(x- (1/2))^2 9/4
Tästä nähdään, että paraabelin huippu on pisteessä
x=1/2 ja y= 9/4
Mitään derivointia ei siis tarvita ja hyvin hallittu peruskoulun matematiikka riittää.
Näinpä :) Kokenut konkari ja pelisilmää, niin voi löytyä tapa, jota tehtäväntekijäkään ei liene ajatellut. Mutta jos mietitään vaikka yo-kirjoituksia, niin luullakseni tuossa voi olla riski, ettei täysiä pisteitä tulisi.
Perustelu tämän tehtävän yhteydessä: 'syötteenä' olevaa derivaattatietoa x:n arvolla 2 ei voi ohittaa noin vaan (muutoin paraabeli ei ole yksikäsitteinen) eli tieto on jotenkin leivottuna hieman ylimalkaisen lausahduksen
"Pienellä päättelyllä havaitaan, että paraabelin yhtälön täytyy olla muotoa
y = a(x-2)^2 (x 1)"
sisään. Mutta millä ajatuskululla, tuleeko tarkastaja vakuuttuneeksi? 'Heiton' omaisista välivaiheista vaadittaneen joskus, ehkä harkinnan jälkeen, pieni perustelu.
Edellisten lisäksi yksi ehdotus tehtävän käsittelyksi olisi näin:
y = a(x-X)^2 Y
Y' = 2a(x-X). Sijoittamalla tähän x=2, y'=1, X=1/2, saadaan a=1/3, joten
y = (1/3)(x-1/2)^2 Y.
Huippupisteen X-koordinaatti tulee y=3 korkeudella olevien annettujen x-koordinaattien puolivälinä, koska paraabeli on symmetrinen y-akselin suuntaisen ko.pisteen kautta kulkevan suoran suhteen.
Sijoittamalla saatuun paraabelin yhtälöön esim. (-1,3) saadaan
3 = (1/3)(9/4) Y, josta Y = 3-3/4 = 9/4.